Порядок Брюа

Если ${\displaystyle (W,S)}$ — система Коксетера с порождающими элементами ${\displaystyle S}$, то (сильный, слабый левый, слабый правый) порядок Брюа — это частичный порядок на группе ${\displaystyle W}$, определяемый для ${\displaystyle u,v\in W}$ следующим образом^[5]:

• ${\displaystyle u\leqslant v}$ в (сильном) порядке Брюа, если некоторая подстрока некоторого (любого) приведённого слова для ${\displaystyle v}$ является приведённым словом для ${\displaystyle u}$^[6];
• ${\displaystyle u\leqslant _{L}v}$, то есть ${\displaystyle u}$ меньше или равно ${\displaystyle v}$ в слабом левом порядке Брюа, если некоторый постфикс некоторого приведённого слова для ${\displaystyle v}$ является приведённым словом для ${\displaystyle u}$;
• ${\displaystyle u\leqslant _{R}v}$ в слабом правом порядке Брюа, если некоторый префикс некоторого приведённого слова для ${\displaystyle v}$ является приведённым словом для ${\displaystyle u}$.

Граф Брюа — это ориентированный граф, связанный с сильным порядком Брюа. Множество вершин графа Брюа состоит из элементов группы Коксетера, а ориентированное ребро между вершинами ${\displaystyle u}$ и ${\displaystyle v}$ проводится тогда и только тогда, когда ${\displaystyle {\textrm {l}}(u)<{\textrm {l}}(v)}$ и существует такое отражение ${\displaystyle t}$, что ${\displaystyle u=tv}$. Граф Брюа можно воспринимать как ориентированный граф с помеченными рёбрами, где метки соответствуют отражениям. Аналогичным образом можно определить граф Брюа с умножением на отражение ${\displaystyle t}$ справа. В таком случае новый граф окажется изоморфен исходному, но метки на его рёбрах будут расставлены иначе.

Сильный порядок Брюа на симметрической группе обладает функцией Мёбиуса, которая определяется равенством ${\displaystyle \mu (\pi ,\sigma )=(-1)^{\ell (\sigma )-\ell (\pi )}}$, а значит соответствующее частично упорядоченное множество является эйлеровым.