Показательная функция, её график

Пусть ${\displaystyle a}$ — неотрицательное вещественное число, ${\displaystyle x}$ — рациональное число: ${\displaystyle x={\frac {m}{n}}}$. Тогда ${\displaystyle a^{x}}$ определяется, исходя из свойств степени с рациональным показателем, по следующим правилам.

• Если ${\displaystyle x>0}$, то ${\displaystyle a^{x}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}}$.
• Если ${\displaystyle x=0}$ и ${\displaystyle a\neq 0}$, то ${\displaystyle a^{x}=1}$.
  • Значение ${\displaystyle 0^{0}}$ не определено.
• Если ${\displaystyle x<0}$ и ${\displaystyle a>0}$, то ${\displaystyle a^{x}={\frac {1}{a^{|x|}}}={\frac {1}{\sqrt[{n}]{a^{|m|}}}}}$.
  • Значение ${\displaystyle a^{x}}$ при ${\displaystyle x<0,a=0}$ не определено.
    

    Показательная функция с основаниями 2 и 1/2

• Область определения: ${\displaystyle D(a^{x})=R}$
• Область значений: ${\displaystyle E(a^{x})=(0;+\infty )}$, то есть ${\displaystyle y>0}$.
• Функция ни чётная, ни нечётная.
• Точки пересечения с осями координат:

  с осью ${\displaystyle OY:(0;1)}$;

  с осью ${\displaystyle OX}$ — нет.

• Промежутки возрастания и убывания:

  при ${\displaystyle a>1}$ показательная функция всюду возрастает

  при ${\displaystyle 0<a<1}$ функция, соответственно, убывает.

• Для всех ${\displaystyle x\in R}$ ${\displaystyle (y>0)}$. Наибольшего и наименьшего значения нет.
• Показательная функция растёт на бесконечности быстрее любой другой функции.