Подобие тел

Два геометрических тела называют подобными, если существует преобразование подобия пространства, переводящее одно тело в другое^[1]. Коэффициент подобия ${\displaystyle k}$ определяется отношением расстояний между соответствующими точками образа и исходного тела^[1].

Если точкам ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ исходного тела соответствуют точки ${\displaystyle A'}$ и ${\displaystyle B'}$ второго тела, то ${\displaystyle A'B'=k\cdot AB.}$^[1]

При ${\displaystyle k=1}$ подобие сохраняет все расстояния и является движением^[1]. При ${\displaystyle k>1}$ соответствующие линейные размеры увеличиваются, а при ${\displaystyle 0<k<1}$ уменьшаются^[1].

Гомотетия является частным случаем преобразования подобия^[1]. При гомотетии с центром ${\displaystyle O}$ и ненулевым коэффициентом ${\displaystyle \lambda }$ каждой точке ${\displaystyle M}$ соответствует точка ${\displaystyle M'}$, удовлетворяющая условию ${\displaystyle {\overrightarrow {OM'}}=\lambda {\overrightarrow {OM}}.}$^[1]

Коэффициент подобия при такой гомотетии равен ${\displaystyle |\lambda |}$: расстояния между соответствующими точками изменяются в ${\displaystyle |\lambda |}$ раз^[1]. При ${\displaystyle \lambda >0}$ точки ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle M'}$ лежат на одном луче с началом ${\displaystyle O}$, а при ${\displaystyle \lambda <0}$ — на противоположных лучах^[1].

Для подобных тел отношение любых соответствующих линейных размеров равно коэффициенту подобия^[1]. Если у двух подобных прямоугольных параллелепипедов соответствующие рёбра имеют длины ${\displaystyle a,b,c}$ и ${\displaystyle a',b',c'}$, то ${\displaystyle {\frac {a'}{a}}={\frac {b'}{b}}={\frac {c'}{c}}=k.}$^[1]

Это же правило распространяется на соответствующие высоты, радиусы, диаметры, образующие и другие линейные элементы подобных тел^[1].

При подобии с коэффициентом ${\displaystyle k}$ площади соответствующих поверхностей изменяются в ${\displaystyle k^{2}}$ раз. Если ${\displaystyle S_{1}}$ и ${\displaystyle S_{2}}$ — площади соответствующих поверхностей двух подобных тел, то ${\displaystyle {\frac {S_{2}}{S_{1}}}=k^{2}.}$

Например, если все линейные размеры тела увеличить в 3 раза, то площадь соответствующей поверхности увеличится в ${\displaystyle 3^{2}=9}$ раз.

Для подобных шаров радиусы относятся как ${\displaystyle k}$, а площади сфер — как ${\displaystyle k^{2}}$, что следует из формулы площади сферы ${\displaystyle S=4\pi R^{2}.}$^[2]

Отношение объёмов подобных многогранников равно кубу коэффициента подобия^[2]: ${\displaystyle {\frac {V_{2}}{V_{1}}}=k^{3}.}$

Это свойство можно проверить на прямоугольном параллелепипеде. Если исходное тело имеет размеры ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ и ${\displaystyle c}$, то ${\displaystyle V_{1}=abc.}$ После увеличения всех линейных размеров в ${\displaystyle k}$ раз получаем ${\displaystyle V_{2}=(ka)(kb)(kc)=k^{3}abc=k^{3}V_{1}.}$^[2]

Если линейные размеры увеличены в 2 раза, объём увеличивается в ${\displaystyle 2^{3}=8}$ раз^[2]. Если объём второго подобного тела в 27 раз больше объёма первого, то коэффициент подобия равен ${\displaystyle k={\sqrt[{3}]{27}}=3.}$^[2]

Для шаров отношение объёмов также равно кубу отношения радиусов, что следует из формулы ${\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi R^{3}.}$^[2]

Если коэффициент подобия равен ${\displaystyle k}$, то для соответствующих линейных размеров ${\displaystyle L_{1}}$, ${\displaystyle L_{2}}$, площадей ${\displaystyle S_{1}}$, ${\displaystyle S_{2}}$ и объёмов ${\displaystyle V_{1}}$, ${\displaystyle V_{2}}$ выполняются соотношения^[2]: ${\displaystyle {\frac {L_{2}}{L_{1}}}=k,}$ ${\displaystyle {\frac {S_{2}}{S_{1}}}=k^{2},}$ ${\displaystyle {\frac {V_{2}}{V_{1}}}=k^{3}.}$

Отсюда можно выражать коэффициент подобия через площади или объёмы: ${\displaystyle k={\sqrt {\frac {S_{2}}{S_{1}}}},}$ ${\displaystyle k={\sqrt[{3}]{\frac {V_{2}}{V_{1}}}}.}$^[2]

Если известно отношение объёмов, отношение соответствующих площадей можно получить по формуле ${\displaystyle {\frac {S_{2}}{S_{1}}}=\left({\frac {V_{2}}{V_{1}}}\right)^{2/3}.}$^[2]

В классической стереометрии отдельно рассматриваются подобные многогранники и отношение их объёмов^[1]. Для подобных многогранников соответствующие грани являются подобными многоугольниками, а соответствующие линейные элементы находятся в одном и том же отношении^[1].

Частным примером являются две правильные пирамиды одинакового типа, у которых соответствующие линейные размеры пропорциональны. Если коэффициент подобия таких пирамид равен ${\displaystyle k}$, их высоты и рёбра относятся как ${\displaystyle k}$, площади оснований — как ${\displaystyle k^{2}}$, а объёмы — как ${\displaystyle k^{3}}$^[2].

В методических работах по школьной стереометрии подчёркивается значение пространственного представления при работе с многогранниками, их сечениями и взаимным расположением элементов^[3].

Для цилиндров, конусов и шаров подобие также определяется пропорциональным изменением соответствующих линейных размеров^[1]. У подобных цилиндров пропорциональны радиусы оснований и высоты, а у подобных конусов — радиусы оснований, высоты и образующие^[1].

Если коэффициент подобия двух цилиндров или конусов равен ${\displaystyle k}$, площади соответствующих поверхностей относятся как ${\displaystyle k^{2}}$, а объёмы — как ${\displaystyle k^{3}}$^[2]. Для шаров коэффициент подобия равен отношению их радиусов^[1].

Подобие в пространстве особенно полезно в задачах, где плоскость, параллельная основанию пирамиды или конуса, отсекает фигуру того же типа^[1]. В такой конфигурации меньшая и исходная фигуры подобны, поэтому отношение соответствующих линейных размеров можно переносить на площади и объёмы с помощью степеней коэффициента подобия^[2].

Например, если плоскость параллельна основанию пирамиды и пересекает все её боковые рёбра в точках, делящих расстояния от вершины в одном отношении ${\displaystyle k}$, то отсечённая у вершины пирамида подобна исходной с коэффициентом ${\displaystyle k}$^[1]. Поэтому площадь её основания составляет ${\displaystyle k^{2}}$ площади основания исходной пирамиды, а объём — ${\displaystyle k^{3}}$ объёма исходной пирамиды^[2].

Исследователи методики преподавания стереометрии связывают успешность решения пространственных задач с развитием пространственного мышления и умением оперировать трёхмерными образами^[4].

Наряду с синтетическим геометрическим методом при решении стереометрических задач может применяться координатный метод. Динара Хамитовна Сапарова и Андрей Владимирович Минкин рассматривают его на примерах задач профильного ЕГЭ и отмечают возможность использовать координаты для нахождения расстояний и углов в пространстве^[5].

Если рёбра двух подобных кубов равны 4 и 10, коэффициент подобия второго куба первому равен ${\displaystyle k={\frac {10}{4}}={\frac {5}{2}}.}$ Следовательно, отношение площадей их поверхностей равно ${\displaystyle \left({\frac {5}{2}}\right)^{2}={\frac {25}{4}},}$ а отношение объёмов — ${\displaystyle \left({\frac {5}{2}}\right)^{3}={\frac {125}{8}}.}$^[2]

Если объёмы двух подобных тел относятся как ${\displaystyle 64:125,}$ то отношение соответствующих линейных размеров равно ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{\frac {64}{125}}}={\frac {4}{5}},}$ а отношение соответствующих площадей — ${\displaystyle {\frac {16}{25}}.}$^[2]

Если площадь поверхности второго подобного тела в 49 раз больше площади первого, то коэффициент подобия равен ${\displaystyle k={\sqrt {49}}=7,}$ а отношение объёмов равно ${\displaystyle 7^{3}=343.}$^[2].

Геометрическое подобие используется при создании масштабных моделей и при переходе от размеров модели к размерам реального объекта^[6]. При этом для физического моделирования одного геометрического подобия может быть недостаточно: например, при исследованиях движения жидкости или газа необходимо учитывать также физические критерии подобия^[7].

⚠️ Подсказка для ЕГЭ/ОГЭ

Знание подобия тел полезно не как изолированная формула, а как один из инструментов для работы с сечениями и пропорциональными элементами пространственных фигур^[4][3].

Для экзамена особенно полезны соотношения ${\displaystyle {\frac {L_{2}}{L_{1}}}=k,}$ ${\displaystyle {\frac {S_{2}}{S_{1}}}=k^{2},}$ ${\displaystyle {\frac {V_{2}}{V_{1}}}=k^{3}.}$^[2] Из них следуют обратные формулы ${\displaystyle k={\sqrt {\frac {S_{2}}{S_{1}}}}}$ и ${\displaystyle k={\sqrt[{3}]{\frac {V_{2}}{V_{1}}}}.}$^[2]

При решении задач на пирамиду или конус, пересечённые плоскостью, параллельной основанию, следует сначала установить подобие отсечённой и исходной фигур, определить коэффициент ${\displaystyle k}$, а затем применять квадрат коэффициента к площадям и куб коэффициента к объёмам^[1][2]. Для усечённой части объём обычно находится вычитанием объёма меньшего подобного тела из объёма исходного^[2].

Для подготовки к линии 14 одних формул подобия недостаточно. Требуются пространственное представление, корректный чертёж, знание параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей, свойств многогранников, умение строить рассуждение и обосновывать каждый шаг^[4][3]. Координатный метод может служить альтернативой или способом проверки в задачах на расстояния и углы^[5].

Типичные ошибки при использовании подобия:

• принимать отношение площадей за коэффициент подобия; если ${\displaystyle S_{2}/S_{1}=25}$, то ${\displaystyle k=5}$, а не 25^[2];
• принимать отношение объёмов за коэффициент подобия; если ${\displaystyle V_{2}/V_{1}=64}$, то ${\displaystyle k=4}$, а не 64^[2];
• применять зависимость ${\displaystyle V_{2}=k^{3}V_{1}}$ к усечённой части, которая сама не является телом, подобным исходной полной пирамиде или конусу^[2];
• считать две правильные пирамиды с одинаковым числом сторон основания автоматически подобными: для подобия должны быть пропорциональны все соответствующие линейные размеры, в частности отношение высоты к стороне или радиусу основания должно совпадать^[1].