Плотность потока

Пло́тность пото́ка — вектор, сонаправленный со скоростью ${\displaystyle {\vec {v}}}$ переноса рассматриваемой скалярной величины ${\displaystyle f}$ в данной точке пространства и характеризующий количество этой величины, которое проходит за единицу времени через единичную площадку, содержащую данную точку и ортогональную вектору скорости ${\displaystyle {\vec {v}}}$. Определяется как

${\displaystyle {\vec {F}}={\frac {df}{dA\,dt}}\cdot {\frac {\vec {v}}{v}}=\rho _{f}\,{\vec {v}}}$,

где ${\displaystyle dA}$ — элемент площади, ${\displaystyle t}$ — время, ${\displaystyle \rho _{f}=df/dV}$ (${\displaystyle dV}$ — элемент объёма). Термин используется во многих разделах физики, в частности, в гидроаэродинамике, в анализе явлений переноса при теплообмене, массообмене и в электродинамике. Может рассматриваться перенос массы, заряда, энергии, спина и других величин^[1][2].

В Международной системе единиц СИ плотность потока имеет размерность переносимой величины ${\displaystyle f}$, делённой на квадратный метр и на секунду. В случае, если речь идёт о переносе массы, то ${\displaystyle f}$ — это масса ${\displaystyle M}$, тогда ${\displaystyle \rho _{f}}$ измеряется в кг/м³, а плотность потока обретает размерность кг/м²/с. Установившегося буквенного обозначения для плотности потока нет^[3].

Нередко перенос величины осуществляется или может считаться осуществляющимся дискретными «носителями», например молекулами, каждый из которых даёт вклад ${\displaystyle f_{i}}$ и движется со скоростью ${\displaystyle {\vec {v}}_{i}}$. Плотность потока в заданной точке при этом вычисляется как

${\displaystyle {\vec {F}}={\frac {d}{dV}}\sum _{i=1}^{N}f_{i}\,{\vec {v}}_{i}=f_{one}n\,{\vec {v}}}$,

где ${\displaystyle dV}$ — малый объём, содержащий рассматриваемую точку. Здесь ${\displaystyle f_{one}=<f_{i}>}$ — среднее значение вклада носителя, а в качестве скорости подставляется величина ${\displaystyle {\vec {v}}=<f_{i}\,{\vec {v}}_{i}>/f_{one}}$. Через ${\displaystyle n}$ (м^-3; ${\displaystyle n=dN/dV}$, где ${\displaystyle N}$ — число частиц в объёме) обозначена концентрация носителей. Эквивалентность приведённых выражений для ${\displaystyle {\vec {F}}}$ обеспечивается тем, что ${\displaystyle \rho _{f}=f_{one}n}$. При наличии нескольких «сортов» частиц, несущих вклад ${\displaystyle f_{one,s}}$ и имеющих среднюю скорость ${\displaystyle {\vec {v}}_{s}}$ плотность потока будет определяться формулой:

${\displaystyle {\vec {F}}=\sum _{s}{\frac {f_{one,s}dN_{s}}{dA\,dt}}\cdot {\frac {{\vec {v}}_{s}}{v_{s}}}=\sum _{s}f_{one,s}\,n_{s}{\vec {v}}_{s}}$,

где символом ${\displaystyle s}$ нумеруются сорта частиц. В простейшей ситуации наличествует только один сорт и нет суммирования. Пример конкретизации вышеприведенных формул даёт выражение для плотности тока ${\displaystyle {\vec {j}}=qn{\vec {v}}}$ (переносимая величина — электрический заряд, заряд одного носителя составляет величину ${\displaystyle q}$); здесь ${\displaystyle {\vec {j}}}$ соответствует ${\displaystyle {\vec {F}}}$, а ${\displaystyle q=f_{one}}$.

Интеграл плотности потока по некоторой поверхности ${\displaystyle \Phi =\int _{S}{\vec {F}}\cdot d{\vec {S}}}$ носит название потока.

Модуль интеграла плотности потока по некоторому промежутку времени ${\displaystyle \left|\int _{0}^{T}{\vec {F}}\,\mathrm {d} t\right|}$ называется флюенсом.

Если перенос происходит в плоскости, то есть анализируется двумерная система, можно ввести "одномерную" (в единицах ${\displaystyle f}$, делённых на метр и на секунду) плотность потока ${\displaystyle {\vec {F}}=df/dL/dt\,\,{\vec {v}}/v}$.