Плоскопараллельное течение

В отличие от пространственного потока, описание движения всех частиц потока сводится к нахождению временных зависимостей координат ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$, лежащих в одной плоскости, другими словами, их движение не зависит от третьей координаты ${\displaystyle z}$ (в Декартовой системе координат). Математически это означает, что плоскопараллельное движение жидкости или газа изучается в пределах одной плоскости ${\displaystyle Oxy}$.

Плоскопараллельное течение жидкости рассматривается из условия её несжимаемости.

В реальной жизни нарушение плоскопараллельного движения происходит, в основном, из-за краевых эффектов — пристеночных эффектов, наличия стенок и ограничивающих поток препятствий. Для описания плоскопараллельного движения рассматривают модели бесконечного крыла самолёта (обтекание крыла бесконечного размаха), движения жидкости через бесконечную плотину, движение жидкости или газа в трубах бесконечного диаметра, течение жидкости или газа между бесконечными плоскопараллельными пластинами, одна из которых движется (т. н. плоскопараллельное течение Куэтта), и др^[1].

На рисунке бледно-синим цветом показан участок плоскопараллельного течения жидкости в трубе большого диаметра. Вязкость жидкости и пристеночные эффекты формируют профиль скоростей (показан справа), но на участке, достаточно удалённом от передней границы потока и от стенок, движение жидкости можно считать плоскопараллельным^[2].

Уравнение неразрывности в случае плоскопараллельного течения несжимаемой жидкости имеет вид:

${\displaystyle {\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}=0}$.

Функцией тока называют функцию ${\displaystyle \Psi (x,y)}$, для которой выполняются условия:

${\displaystyle v_{x}={\frac {\partial \Psi }{\partial y}}}$,

${\displaystyle v_{y}=-{\frac {\partial \Psi }{\partial x}}}$.

Скорость сдвига при этом составит величину:

${\displaystyle U={\sqrt {4{\biggl (}{\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}{\biggl )}^{2}+{\biggl (}{\frac {\partial v_{x}}{\partial y}}+{\frac {\partial v_{y}}{\partial x}}{\biggl )}^{2}}}}$.