Перевод из любой системы счисления в десятичную систему счисления

Возьмём число ${\displaystyle 543_{10}}$ и рассмотрим его с точки зрения системы счисления. Цифра 5 обозначает сотни, 4 — десятки и 3 — единицы. Попробуем представить это более формально. Для этого пронумеруем разряды числа справа налево, начиная с нуля.

Учтём, что ${\displaystyle 100=10^{2}}$, ${\displaystyle 10=10^{1}}$, ${\displaystyle 1=10^{0}}$.

Представим число как ${\displaystyle 5\cdot 10^{2}+4\cdot 10^{1}+3\cdot 10^{0}=5\cdot 100+4\cdot 10+3=543}$.

Сформулируем правило, по которому число из любой системы счисления можно перевести в десятичную систему:

1. Пронумеровать разряды числа справа налево, начиная с нуля.
2. Выписать цифры числа, умноженные на основание системы счисления, возведенное в степень (номер разряда), написанную над цифрой.
3. Сложить все полученные величины.

Например, переведем число ${\displaystyle 123_{4}}$ в десятичную систему счисления.

Пронумеруем разряды справа налево, начиная с нуля.

Выпишем цифры числа, умноженные на основание системы счисления (4) в степени номера разряда: ${\displaystyle 1\cdot 4^{2}+2\cdot 4^{1}+3\cdot 4^{0}=1\cdot 16+2\cdot 4+3\cdot 1=27_{10}}$.

Таким образом, можно перевести число из любой системы счисления в десятичную систему счисления.

При переводе из двоичной системы счисления процедура упрощается. Все цифры в двоичной системе счисления — нули и единицы. Умножение на ноль всегда даёт ноль, а умножение на единицу — исходное число. Поэтому достаточно сложить двойки, возведенные в степени номеров разрядов, при которых стоят единицы, пропуская разряды с нулями.

Пример: ${\displaystyle 110011_{2}=2^{5}+2^{4}+2^{1}+2^{0}=32+16+2+1=51_{10}}$