Парадокс вращения монеты

Проще всего увидеть проблему, если рассматривать две идентичные монеты, которые лежат на столе и касаются друг друга. Поверните изображения монет так, чтобы легче было отследить число оборотов при вращении, например, расположите одинаковые элементы на параллельных линиях или выделяющийся элемент в верхней (нижней) точке. Удерживая монету A неподвижно, вращайте монету Б вокруг A, сохраняя точку контакта без скольжения, которого помогает избежать ребристая поверхность кромки монет. Когда монета Б достигает противоположной от стартовой стороны, она совершит один полный оборот. Продолжение движения монеты Б вернёт её в исходное положение и завершит второй оборот. Парадоксально: монета Б вокруг длины окружности неподвижной монеты совершила два оборота, то есть «прокатилась» на расстояние, равное удвоенной длине её окружности^[1]. В действительности, поскольку окружности обеих монет равны по определению, монета B действительно катилась только на расстояние, равное её собственной окружности, то есть на один оборот. Второе вращение возникает вследствие того, что путь, по которому катилась монета, сам является кругом, что аналогично полному вращению монеты Б без качения, «на месте», и этот оборот не зависит от размера огибаемого объекта^[2].

Один из способов визуализации разницы в составных частях эффекта — это «вытянуть» окружность монеты A в прямую линию. Монета Б в таком случае вращается только один раз, когда она двигается по плоской траектории. Это «первый оборот». Теперь рассмотрим скольжение одной неизменной точкой (без качения) монеты Б по кругу монеты A — это даст одно полное вращение, представляющее «второй оборот».

Другим вариантом визуализации является рассмотрение случая движения монеты по периметру квадрата. Качение по линии стороны квадрата будет вызывать соответствующее вращение монеты, которое зависит только от длины стороны квадрата. Но на углу квадрата для обеспечения непрерывности дальнейшего движения без проскальзывания монету придётся повернуть на 90 градусов без прохождения какого-либо пути. Четыре угла обеспечивают 360 градусов поворота монеты дополнительно к тому, что будет в результате качения по периметру квадрата^[2].

Когда монета Б вращается вокруг другой монеты такого же размера, любая точка её окружности описывает кардиоиду.

Пример, когда R = 3 r . На рисунке 1, когда R выпрямлено, количество оборотов (количество раз, когда стрелка указывает вверх) Rr R / r = 3. На рисунке 2, когда R было восстановлено в круг, монета совершает дополнительный оборот, давая Rr R / r + 1=4. (анимация)

В американском тесте для абитуриентов SAT в мае 1982 был вопрос^[3][2]:

После теста независимо друг от друга трое абитуриентов пожаловались на ошибку в задании и доказали, что правильный ответ 4, которого не было среди вариантов. Ошибку признали и сообщили, что полученные баллы за тест будут пересчитаны по всей стране, чтобы исключить из результатов оценку за данную задачу^[3][2]. Кроме того, в тексте вопроса «Через сколько оборотов…» на английском языке был использован термин «revolution», которым в астрономии обозначают полный оборот одного объекта вокруг другого (например, годовой оборот Земли вокруг Солнца). Этот термин может обозначать и вращение объекта вокруг своей оси, но обычно в таком случае используется термин «rotation», а для «revolution» такая трактовка гораздо менее распространена. С учётом разницы в терминологии на поставленный вопрос «Через сколько оборотов…» можно ответить, что круг А сделает один оборот вокруг круга Б и его центр достигнет начальной точки. Хотя этот вариант и является скорее лингвистической неточностью, но ответ «1» мог бы трактоваться как верный и он также отсутствовал в перечне вариантов.

Проще всего доказать ошибку было через демонстрацию на двух бумажных кругах с соответствующим соотношением радиусов (см. рисунок).

В книге Якова Перельмана «Живая математика» (первое издание было в 1934 году) есть похожая задача № 38 «Две зубчатки»:

В описании решения этой задачи Перельман лишь констатирует, что шестерёнка сделает не три, а четыре оборота, и затем предлагает провести наглядный эксперимент с двумя одинаковыми монетами. В конце без каких-либо математических обоснований делается не очень точный конечный вывод: «Вообще когда тело, вертясь, движется по кругу, оно делает одним оборотом больше, чем можно насчитать непосредственно»^[4].

Тем не менее, задача имеет аналитическое решение, хотя и более сложное, чем наглядная демонстрация.

От начала до конца центр движущейся монеты движется по кругу. Окружность неподвижной монеты и траектория центра образуют два концентрических круга. Радиус внешнего круга представляет собой сумму радиусов монет; следовательно, окружность для пути подвижного центра вдвое больше окружности одной монеты^[5]. Центр движущейся монеты проходит двойную длину окружности монеты без скольжения. Именно поэтому движущаяся монета делает два полных оборота^[6].

Насколько движущаяся монета на этом пути вращается вокруг собственного центра или в каком направлении — это не влияет на длину пути, который должен пройти центр монеты Б. Фокусировка внимания на точке касания неподвижной монеты и количества оборотов отвлекает внимание и мешает понять истинную длину пути, который проходит монета.

Монета радиуса r, катящаяся вокруг монеты радиуса R, делает Rr + 1 вращений. Это происходит потому, что центр катящейся монеты движется по кругу радиусом R + rr = Rr + 1 умножить на собственный радиус. В предельном случае, когда R = 0, монета радиуса r составляет 0r + 1 = 1 простой оборот вокруг своей нижней неподвижной точки.

Вообще, форма, вокруг которой катится монета, не обязательно должна быть именно кругом: один дополнительный оборот прибавляется к соотношению длины окружности к периметру любого простого многоугольника или вообще замкнутой кривой, которая не пересекает сама себя. Круг будет лишь частным случаем такой кривой.

Если рассматривать случай движения монеты внутри кривой, то пройденная центром монеты линия будет отодвинута внутрь на величину радиуса монеты, что уменьшит её длину ровно на длину окружности монеты. Таким образом вместо добавления одного оборота к соотношению длин периметров, надо вычитать один оборот из такого соотношения.

Парадокс связан со звёздным временем. Так звёздные сутки — это время, необходимое для вращения Земли, чтобы удалённая звезда вернулась в то же положение на небе. При этом такое время не совпадает с длиной солнечных суток — времени, в течение которого Солнце возвращается в зенит. Год имеет примерно 365.25 солнечных суток, но 366.25 звёздных суток для одного оборота Земли вокруг Солнца^[7][2]. Так как солнечные сутки имеют 24 часа, звёздные сутки имеют примерно 365.25366.25 × 24 часа = 23 часа 56 минут и 4,1 секунды.

Известно, что Луна всегда обращена к Земле одной стороной. Большинство людей считают, что это происходит потому, что время вращение Луны вокруг собственной оси случайно оказалось равным времени оборота Луны по орбите вокруг Земли. Но из-за приливной блокировки Луна самостоятельно не вращается вокруг своей оси! Если бы Земля была плоской, то Луна скользила бы над ней без вращения и именно отсутствие вращения обеспечивало бы постоянное обращение к Земле только одной стороной. Наблюдаемое в гелиоцентрической системе координат вращение Луны происходит исключительно из-за её облёта вокруг Земли^[2], то есть вращение происходит вокруг Земли, а не вокруг оси Луны. Точно также кордовая авиамодель облетает центр привязки и при этом не совершает никакого самостоятельного вращения вокруг своей оси.

Версия парадокса возникает в теории групп, в частности в исследовании группы Ли, известной как расщеплённая действительная форма _G2 . Одна из конструкций этой группы использует тот факт, что шар, катящийся вокруг другого шара с тройным радиусом, совершит четыре полных оборота, а не три^[8].