Основные приёмы решения систем уравнений

Существует несколько общих методов преобразования систем уравнений, переводящих исходную систему в ей равносильную. Эти методы проще всего сформулировать на примере систем двух уравнений, однако соответствующие приёмы можно обобщить на системы с большим количеством уравнений.

Обоснование метода. Если в системе какое-либо уравнение заменить равносильным ему, а другие оставить без изменений, то полученная система будет равносильна первоначальной.

Обоснование метода. Если в системе какое-либо уравнение заменить на линейную комбинацию этого уравнения и какого-либо другого уравнения системы (или нескольких уравнений системы), а другие уравнения оставить без изменений, то полученная система будет равносильна первоначальной. На примере системы из двух уравнений это выглядит так: пусть — любые действительные числа, не равные нулю одновременно, тогда Основные аналитические способы решения систем уравнений.

${\displaystyle {\begin{cases}f_{1}(x;y)=0;\\f_{2}(x;y)=0.\\\end{cases}}}$, равносильно:

${\displaystyle {\begin{cases}a\cdot f_{1}(x;y)+b\cdot f_{2}(x;y)=0;\\f_{2}(x;y)=0.\\\end{cases}}}$

Обоснование метода. Если в одном из уравнений системы выразить одну из переменных и полученное выражение подставить в другое уравнение системы, то полученная система будет равносильна первоначальной. На примере системы из двух уравнений это выглядит так:

${\displaystyle {\begin{cases}x=f_{1}(y);\\f_{2}(x;y)=0.\\\end{cases}}}$, равносильно:

${\displaystyle {\begin{cases}x=f_{1}(y);\\f_{2}(f_{1}(y);y)=0.\\\end{cases}}}$

Обоснование метода. Если система содержит уравнение ${\displaystyle f_{1}(x;y)\cdot f_{2}(x;y)=0;}$, то на своей области определения она равносильна совокупности двух систем, в первой из которых данное уравнение заменено на ${\displaystyle f_{1}(x;y)=0;}$, а во второй — на ${\displaystyle f_{2}(x;y)=0;}$. На примере системы из двух уравнений это выглядит так:

система

${\displaystyle {\begin{cases}f_{1}(x;y)\cdot f_{2}(x;y)=0;\\f_{3}(x;y)=0.\\\end{cases}}}$

равносильна совокупности двух систем:

${\displaystyle {\begin{cases}f_{1}(x;y)=0;\\f_{3}(x;y)=0.\\\end{cases}}}$, когда ${\displaystyle f_{2}(x;y)}$ определена,

и

${\displaystyle {\begin{cases}f_{2}(x;y)=0;\\f_{3}(x;y)=0.\\\end{cases}}}$, когда ${\displaystyle f_{1}(x;y)}$ определена.

Обоснование метода. Если в системе функции ${\displaystyle f_{1}}$ и ${\displaystyle f_{2}}$ являются сложными, то есть имеют вид ${\displaystyle f_{1}(h(x;y);g(x;y))}$ и ${\displaystyle f_{2}(h(x;y);g(x;y))}$, то, выполнив замену переменных ${\displaystyle u=h(x;y)}$ и ${\displaystyle v=g(x;y)}$, получим систему, равносильную исходной. После решения новой системы относительно переменных ${\displaystyle u}$ и ${\displaystyle v}$ необходимо вернуться к исходным переменным и определить их значения.

Обоснование метода. Чтобы решить систему уравнений графическим методом, необходимо:

1) посредством равносильных преобразований системы упростить входящие в неё уравнения так, чтобы удобно было строить множества точек, задаваемые уравнениями системы;

2) в одной системе координат построить множества точек, задаваемые уравнениями системы;

3) найти координаты точек пересечения построенных линий.

Координаты ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ найденных точек пресечения будут являться решениями ${\displaystyle (x;y)}$ системы.

Найденные таким способом значения будут приближёнными. Необходимо подставить этот набор значений в исходную систему, проверив, получается ли при этом набор верных равенств.

Необходимо решить систему уравнений:

${\displaystyle {\begin{cases}x+2y=8;\\x^{2}+5x=0.\\\end{cases}}}$

Преобразуем систему, разложив второе уравнение на множители:

${\displaystyle {\begin{cases}2y=8-x;\\x(x+5)=0.\\\end{cases}}}$

Второе уравнение обращается в ${\displaystyle 0}$ при двух разных значениях переменной ${\displaystyle x}$. Перейдём к совокупности двух разных систем:

1. ${\displaystyle {\begin{cases}y={\frac {8-x}{2}};\\x_{1}=0.\\\end{cases}}}$

2. ${\displaystyle {\begin{cases}y={\frac {8-x}{2}};\\x_{2}=-5.\\\end{cases}}}$

Ответ: ${\displaystyle (0;4),(-5;6,5)}$