Основные приёмы решения систем уравнений

Ме́тоды реше́ния систе́м уравне́ний — совокупность приёмов и алгоритмов, позволяющих находить решения систем уравнений (как линейных, так и нелинейных). В школьном курсе алгебры изучаются основные методы: подстановки, сложения, разложения на множители, замены переменной и графический метод. Эти методы преобразуют исходную систему в ей равносильную (то есть имеющую те же решения) или в совокупность более простых систем, что позволяет найти все решения или убедиться в их отсутствии.

Существует несколько общих методов преобразования систем уравнений, переводящих исходную систему в ей равносильную^[1]. Эти методы проще всего сформулировать на примере систем двух уравнений, однако соответствующие приёмы можно обобщить на системы с большим количеством уравнений.

Равносильными называются системы уравнений, имеющие одно и то же множество решений^[2]. Обоснование метода. Если в системе какое-либо уравнение заменить равносильным ему, а другие оставить без изменений, то полученная система будет равносильна первоначальной^[1].

Другим часто применяемым приёмом является метод сложения.

Обоснование метода. Если в системе какое-либо уравнение заменить на линейную комбинацию этого уравнения и какого-либо другого уравнения системы (или нескольких уравнений системы), а другие уравнения оставить без изменений, то полученная система будет равносильна первоначальной^[1]. На примере системы из двух уравнений это выглядит так: ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ — любые действительные числа, причём ${\displaystyle a\neq 0}$, тогда

${\displaystyle {\begin{cases}f_{1}(x;y)=0;\\f_{2}(x;y)=0.\\\end{cases}}}$, равносильно:

${\displaystyle {\begin{cases}a\cdot f_{1}(x;y)+b\cdot f_{2}(x;y)=0;\\f_{2}(x;y)=0.\\\end{cases}}}$

Если одно из уравнений системы удаётся легко разрешить относительно одной из переменных, используют метод подстановки.

Обоснование метода. Если в одном из уравнений системы выразить одну из переменных и полученное выражение подставить в другое уравнение системы, то полученная система будет равносильна первоначальной^[1]. На примере системы из двух уравнений это выглядит так:

${\displaystyle {\begin{cases}x=f_{1}(y);\\f_{2}(x;y)=0.\\\end{cases}}}$, равносильно:

${\displaystyle {\begin{cases}x=f_{1}(y);\\f_{2}(f_{1}(y);y)=0.\\\end{cases}}}$

Когда уравнение системы представляет собой произведение выражений, прибегают к методу разложения на множители.

Ключевое свойство, используемое в этом методе: произведение двух выражений равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю (при условии, что все выражения определены)^[3]. Обоснование метода. Если система содержит уравнение ${\displaystyle f_{1}(x;y)\cdot f_{2}(x;y)=0;}$, то на своей области определения она равносильна совокупности двух систем^[3], в первой из которых данное уравнение заменено на ${\displaystyle f_{1}(x;y)=0;}$, а во второй — на ${\displaystyle f_{2}(x;y)=0;}$. На примере системы из двух уравнений это выглядит так:

система

${\displaystyle {\begin{cases}f_{1}(x;y)\cdot f_{2}(x;y)=0;\\f_{3}(x;y)=0.\\\end{cases}}}$

равносильна совокупности двух систем на общей области определения исходной системы:

${\displaystyle {\begin{cases}f_{1}(x;y)=0;\\f_{3}(x;y)=0.\\\end{cases}}}$ и

${\displaystyle {\begin{cases}f_{2}(x;y)=0;\\f_{3}(x;y)=0.\\\end{cases}}}$

В случаях, когда уравнения системы содержат повторяющиеся выражения, удобен метод замены переменной.

Обоснование метода. Если в системе функции ${\displaystyle f_{1}}$ и ${\displaystyle f_{2}}$ являются сложными, то есть имеют вид ${\displaystyle f_{1}(h(x;y);g(x;y))}$ и ${\displaystyle f_{2}(h(x;y);g(x;y))}$, то, выполнив замену переменных ${\displaystyle u=h(x;y)}$ и ${\displaystyle v=g(x;y)}$, получим систему, равносильную исходной (при условии, что замена является взаимно однозначной на рассматриваемой области)^[3]. После решения новой системы относительно переменных ${\displaystyle u}$ и ${\displaystyle v}$ необходимо вернуться к исходным переменным и определить их значения. Если замена не является обратимой, найденные значения следует проверить подстановкой в исходную систему.

Если требуется найти лишь приближённое решение или проиллюстрировать его геометрически, применяют графический метод.

Обоснование метода. Чтобы решить систему уравнений графическим методом, необходимо:

1) посредством равносильных преобразований системы упростить входящие в неё уравнения так, чтобы удобно было строить множества точек, задаваемые уравнениями системы;

2) в одной системе координат построить множества точек, задаваемые уравнениями системы;

3) найти координаты точек пересечения построенных линий^[1].

Координаты ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ найденных точек пересечения будут являться решениями ${\displaystyle (x;y)}$ системы.

Найденные таким способом значения будут приближёнными. Необходимо подставить этот набор значений в исходную систему, проверив, получается ли при этом набор верных равенств.

Помимо аналитических методов, для решения систем уравнений, особенно большого размера или сложного вида, применяют численные методы. Они позволяют найти приближённое решение с заданной точностью. ^[3]. К классическим численным методам относятся Метод Ньютона (для нелинейных систем) и Метод простой итерации. Для систем линейных уравнений часто используют Метод Якоби. Полученное приближённое решение, как и в графическом методе, требует проверки подстановкой в исходную систему.

При решении систем важно помнить, что не все преобразования являются равносильными. Замена переменной, возведение обеих частей уравнения в чётную степень, умножение на выражение, содержащее переменную, могут привести к появлению посторонних корней. В таких случаях необходима проверка найденных значений подстановкой в исходную систему. В методах, где используется приближённое решение (графический, численные), проверка также обязательна.

Необходимо решить систему уравнений:

${\displaystyle {\begin{cases}x+2y=8;\\x^{2}+5x=0.\\\end{cases}}}$

Преобразуем систему, разложив второе уравнение на множители:

${\displaystyle {\begin{cases}2y=8-x;\\x(x+5)=0.\\\end{cases}}}$

Второе уравнение обращается в ${\displaystyle 0}$ при двух разных значениях переменной ${\displaystyle x}$. Перейдём к совокупности двух разных систем:

1. ${\displaystyle {\begin{cases}y={\frac {8-x}{2}};\\x_{1}=0.\\\end{cases}}}$

2. ${\displaystyle {\begin{cases}y={\frac {8-x}{2}};\\x_{2}=-5.\\\end{cases}}}$

Ответ: ${\displaystyle (0;4),(-5;6,5)}$

⚠️ Подсказка для ЕГЭ/ОГЭ: Методы решения систем уравнений

Когда что применять:

• Метод подстановки — одна переменная легко выражается через другую.
• Метод сложения — нужно исключить одну переменную (коэффициенты противоположны или уравниваются).
• Метод разложения на множители — уравнение содержит произведение = 0.
• Метод замены переменной — в уравнениях повторяются одинаковые выражения.
• Графический метод — нужно приближённое решение или иллюстрация (координаты точек пересечения).

Ключевые правила (ЕГЭ):

• Система равносильна исходной при замене уравнения на равносильное или на линейную комбинацию.
• При замене переменной обязательно возвращайтесь к исходным переменным и проверяйте корни.
• При разложении на множители переходите к совокупности систем.

Проверка корней: обязательна при:

• замене переменной (необратимая замена),
• возведении в чётную степень,
• умножении на выражение с переменной,
• графическом и численном методах.

Пример: ${\displaystyle {\begin{cases}x+2y=8,\\x^{2}+5x=0.\end{cases}}}$

Разложив второе уравнение, получаем совокупность:

${\displaystyle {\begin{cases}y=(8-x)/2,\\x=0.\end{cases}}}$ и ${\displaystyle {\begin{cases}y=(8-x)/2,\\x=-5.\end{cases}}}$

Ответ: (0; 4), (-5; 6,5).