Определитель матрицы (ЕГЭ-ОГЭ)

• Матрица системы линейных уравнений — это массивы элементов, представленные в виде прямоугольных таблиц размерами ${\displaystyle s\times n}$, для которых определены правила математических действий^[2].
• Квадратная матрица ${\displaystyle n}$-го порядка — вид матрицы, в которой число строк равно числу столбцов ${\displaystyle s=n}$, то есть ${\displaystyle n\times n}$^[1].
• Диагональ матрицы (главная) — проходит от левого верхнего угла матрицы к первому нижнему углу и состоит из элементов ${\displaystyle a_{11},a_{22},...a_{nn}}$.
• Единичная матрица — вид матрицы, все элементы которой по главной диагонали равны 1, а остальные — 0: ${\displaystyle E={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}}$.

Для квадратной матрицы второго порядка ${\displaystyle 2\times 2}$
   ${\displaystyle A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{pmatrix}}}$
   определитель (детерминант) второго порядка имеет вид: ${\displaystyle \det A={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{vmatrix}}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}}$

  Для матрицы третьего порядка ${\displaystyle 3\times 3}$
   ${\displaystyle A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}}$
   определитель (детерминант) третьего порядка имеет вид: ${\displaystyle \det A={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}}$ и вычисляется по формуле:
   ${\displaystyle \det A=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{13}+a_{13}a_{23}a_{31}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{13}a_{21}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32}}$

Для матрицы ${\displaystyle 3\times 3}$ значение определителя равно сумме произведений элементов главной диагонали и произведений элементов, лежащих на треугольниках с гранью, параллельной главной диагонали, от которой вычитается произведение элементов побочной диагонали и произведение элементов, лежащих на треугольниках с гранью, параллельной побочной диагонали^[3].

Правило Саррюса — метод вычисления, наглядно демонстрирующий процесс вычисления определителя матрицы ${\displaystyle n}$-го порядка.

Рассмотрим пример для матрицы ${\displaystyle 3\times 3}$:

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}}$

Определитель (детерминант) находится суммированием шести произведений из трёх элементов. Действие выполняется согласно следующей схеме:

1. Справа от определителя дописывают первых два столбца матрицы.
2. Произведения элементов на главной диагонали и на диагоналях, ей параллельных, имеют знак «плюс»; а произведения элементов побочной диагонали и диагоналей, ей параллельных, — «минус».

Эта схема наглядно демонстрирует формулу:

${\displaystyle \det(A)=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}}$.

1. Определитель матрицы с двумя равными строками (столбцами) равен нулю.
2. Определитель единичной матрицы равен единице ${\displaystyle \det(E)=1}$, где ${\displaystyle E}$ — единичная матрица.
3. Определитель матрицы с двумя пропорциональными строками (столбцами) равен нулю.
4. Определитель матрицы, содержащий нулевую строку (столбец), равен нулю.
5. Определитель матрицы не изменится, если к какой-либо её строке (столбцу) прибавить другую строку (столбец), умноженную на некоторое число.
6. Если поменять местами две строки (столбца) матрицы, то определитель матрицы поменяет знак.
7. Общий множитель в строке (столбце) можно выносить за знак определителя.
8. Определитель произведения матриц равен произведению определителей этих матриц: ${\displaystyle \det(A\cdot B)=\det(A)\cdot \det(B)}$.

Методы вычисления определителей ${\displaystyle n}$-го порядка основаны на том, что определитель ${\displaystyle n}$-го порядка может быть выражен через определители более низких порядков. С этой целью вводят следующие понятия:

• Минор ${\displaystyle M_{ij}}$ к элементу ${\displaystyle a_{ij}}$ определителя ${\displaystyle n}$-го порядка — определитель ${\displaystyle (n-1)}$-го порядка, полученный из исходного определителя вычёркиванием ${\displaystyle i}$-той строки и ${\displaystyle j}$-того столбца^[4].

В общем виде минор ${\displaystyle k}$-го порядка есть определитель, получающийся после вычёркивания в исходном определителе ${\displaystyle (n-k)}$ строк и ${\displaystyle (n-k)}$ столбцов.

• Алгебраическое дополнение ${\displaystyle A_{ij}}$ к элементу ${\displaystyle a_{ij}}$ определителя ${\displaystyle n}$-го порядка — это число ${\displaystyle A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}}$.

${\displaystyle \det A=\sum _{j=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}\det A_{ij}}$

  Формулы Крамера:
    Для системы линейных уравнений
     ${\displaystyle AX=B}$
    решение переменной ${\displaystyle x_{i}}$ выражается формулой:
     ${\displaystyle x_{i}={\dfrac {\det A_{i}}{\det A}}}$,
    где ${\displaystyle A_{i}}$ — матрица, получаемая заменой ${\displaystyle i}$-го столбца матрицы ${\displaystyle A}$ на столбец свободных членов ${\displaystyle B}$.

В аналитической геометрии определитель квадратной матрицы рассматривают как объём ${\displaystyle n}$-мерного параллелепипеда, который образуется, если принять строки матрицы в качестве векторов, образующих рёбра этого параллелепипеда.

Частный случай: определитель второго порядка — это площадь параллелограмма, образованного векторами — сторонами параллелограмма.

Определитель матрицы представляет собой фундаментальную величину линейной алгебры, объединяющую различные свойства матриц и обладающую широким спектром применения в математике и её практических задачах. Знание определителей и навыки их вычисления необходимы при решении систем линейных уравнений, нахождении обратной матрицы, собственных значений матрицы.