Определение истинности составного высказывания

• Алгебра логики — раздел математической логики, который изучает логические утверждения (высказывания) и методы установления их истинности. Для алгебры логики важен не смысл высказывания, а лишь его истинность или ложность.
• Логическое утверждение (высказывание) — это утверждение, о котором можно однозначно сказать истинно оно или ложно.
• Логическое выражение — это запись логических высказываний.
• Простые (элементарные) высказывания — не содержит других высказыва­ний.
• Сложные (составные) высказывания — строятся из нескольких простых высказываний с помощью логических связок — логических операций НЕ, И, ИЛИ.
• Операнды — то, над чем выполняется логическая операция. Например, операция сложения выполняется над двумя слагаемыми. Слагаемые — это операнды.
• Приоритеты логических операций — порядок, в котором разные операции выполняются в составном логическом выражении.

• Истина/Ложь — результаты логических утверждений (истину и ложь) обычно обозначают:

В информатике, как правило, используют символы 1 и 0.

• Логическое И — Конъюнкция — Логическое умножение

${\displaystyle \land ,\bullet }$ , И, AND, &. Например записывают: ${\displaystyle A\land B,A\bullet B,}$ А И В, А&В.

• Логическое ИЛИ — Дизъюнкция — Логическое сложение

${\displaystyle \lor ,+,|}$, ИЛИ. Например записывают: ${\displaystyle A\lor B,A+B,A|B}$ , А ИЛИ В.

• Логическое НЕ — Инверсия — Логическое отрицание

${\displaystyle \neg ,}$НЕ, — (линия сверху над операндом). Например записывают: ${\displaystyle A\lor B,A+B,A|B}$ , А ИЛИ В. НЕ A ¬ A NOT A A

• Логическое И (Конъюнкция)

  Конъюнкция — логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум высказываниям новое высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания истинны.

Выполняется над двумя логическими операндами — бинарная. На примере операции конъюнкции покажем, как заполнять таблицу истинности:

• перебираем возможные варианты значений операндов (0/1);
• все эти варианты и результат для каждого случая логической операции записываем в таблицу:

${\displaystyle A}$	${\displaystyle B}$	${\displaystyle A\land B}$
${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$

Результат Истина (1) получается только в том случае, если оба операнда — Истина (1).

• Логическое ИЛИ (Дизъюнкция)

Дизъюнкция — логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум высказываниям новое высказывание, являющееся истинным тогда, когда хотя бы одно высказывание истинно или оба одновременно. Является бинарной.

Таблица истинности для этой операции следующая:

${\displaystyle A}$	${\displaystyle B}$	${\displaystyle A\lor B}$
${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$

Результат операции Истина (1), если хотя бы у одного логического операнда значение — Истина (1). Результат Ложь (0) получается только в том случае, если оба операнда — Ложь (0).

• Логическое НЕ (Инверсия)

  Инверсия — логическая операция, которая каждому высказыванию ста­вит в соответствие новое высказывание, значение которого противопо­ложно исходному. Операция унарная, так как выполняется только над одним операндом.

  Инверсия определяется следующей таблицей истинности:

${\displaystyle A}$	${\displaystyle \neg A}$
${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0}$

Результат операции меняется на противоположный — из Истины — Ложь, из Лжи — Истина.

Если стоит задача выполнить целое логическое составное выражение, то для того чтобы понять, какая из этих операций выполняется первой, а какая — второй, существуют приоритеты логических операций:

1. Выражение в скобках
2. Логическое НЕ
3. Логическое И
4. Логическое ИЛИ

Операции одинакового приоритета выполняются слева направо.

• Определить истинность составного высказывания, если известны значения истинности входящих в него элементарных высказываний можно с помощью построения таблицы истинности. Количество строк в такой таблице будет равно числу 2 в степени количества операндов. То есть, если в выражении, например, три различных операнда, то количество строк в таблице истинности: ${\displaystyle 2^{3}=8}$. Построение таблицы — довольно трудоёмкий способ решения, хотя он позволяет свести к минимуму риск ошибки.
• Другой способ решения — аналитический. То есть простым рассуждением и перебором возможных вариантов.

Учащиеся, сдающие ОГЭ по информатике, должны уметь определять истинность составного высказывания, если известны значения истинности входящих в него элементарных высказываний. Для этого важно запомнить обозначение базовых логических операций и последовательность их выполнения.