Описательная статистика (ЕГЭ)

• Статистика (от лат. status — состояние, положение вещей) — это наука, которая занимается способами сбора, обработкой и анализом количественных данных, характеризующих массовые явления^[2].
• Среднее арифметическое числового массива — отношение всех чисел массива к их количеству.
• Медиана числового массива — это такое число ${\displaystyle m}$, что хотя бы половина чисел массива не больше числа ${\displaystyle m}$ и хотя бы половина чисел массива не меньше числа ${\displaystyle m}$^[3].
• Выбросы — одно или несколько чисел, которые намного больше или намного меньше всех остальных.
• Генеральная совокупность — множество всех объектов, подлежащее исследованию с помощью выборочного метода на распространённость какого-либо признака.
• Выборка — это часть генеральной совокупности объектов, отобранная для исследования.
• Объём выборки — число объектов, отобранных из генеральной совокупности для проведения случайного исследования.
• Размах выборки — это разность между максимальным и минимальным значениями выборки числовых данных.
• Мода — это такое число из набора данных, которое встречается в списке чаще всего. Если таких частых данных несколько, то каждое из них является модой данного набора.

Среднее арифметическое хорошо описывает однородные массивы данных, то есть массивы, в которых величины имеют один и тот же смысл, и нет значений, которые сильно отличаются от большинства. Это самая употребительная центральная мера. Поэтому иногда среднее арифметическое называют просто средним или средним значением.

 Среднее арифметическое обозначают ${\displaystyle {\bar {x}}}$. Для набора из ${\displaystyle n}$ чисел ${\displaystyle {\overline {x}}={\dfrac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}}{n}}}$.

 1. Если каждое число набора увеличить (уменьшить) на одно и то же число ${\displaystyle a}$, то среднее арифметическое набора увеличится (уменьшится) на это же число ${\displaystyle a}$.

2. Если каждое число набора умножить на одно и то же число ${\displaystyle b}$, то среднее арифметическое набора также умножится на число ${\displaystyle b}$.

Если в изучаемом числовом наборе встречаются выбросы, то в качестве среднего значения часто используют медиану.

Чтобы найти медиану числового массива, в котором ${\displaystyle n}$ чисел, нужно выполнить следующие действия:

 1. Упорядочить массив по возрастанию. 

2. Если ${\displaystyle n}$ нечётно, то медианой будет число с порядковым номером  ${\displaystyle {\frac {n+1}{2}}}$.

3. Если ${\displaystyle n}$ чётно, то медианой будет любое из чисел с номерами ${\displaystyle {\frac {n}{2}}}$ и ${\displaystyle {\frac {n}{2}}+1}$ или любое число между ними (чаще всего в качестве медианы берут среднее арифметическое этих чисел).

Эти показатели характеризуют степень разброса данных относительно их среднего значения.

 Разность между максимальным и минимальным значениями: ${\displaystyle R=x_{\text{max}}-x_{\text{min}}}$.

Мера рассеивания значений числового набора ${\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{n}}$ относительно среднего арифметического^[4]. Дисперсию числового набора обычно обозначают ${\displaystyle S^{2}}$.

При расчётах дисперсии используется выражение ${\displaystyle S^{2}={\frac {(x_{1}-{\bar {x}})^{2}+(x_{2}-{\bar {x}})^{2}+...+(x_{n}-{\bar {x}})^{2}}{n}}={\bar {x^{2}}}-({\bar {x}})^{2}}$. Его можно прочесть «средний квадрат без квадрата среднего».

 Арифметический квадратный корень из дисперсии: ${\displaystyle S={\sqrt {S^{2}}}}$.

Случайная величина — это числовая функция, определённая на множестве элементарных событий случайного эксперимента^[5].

Это случайная величина, значения которой образуют конечную или бесконечную последовательность чисел. Для её описания используют такой показатель как математическое ожидание^[6].

Математическим ожиданием дискретной случайной величины ${\displaystyle X}$ называют сумму произведений значений этой величины на соответствующие вероятности. Математическое ожидание обозначают ${\displaystyle E(X)}$ или ${\displaystyle EX}$.

Это случайная величина, значения которой образуют один или несколько промежутков на числовой прямой. Распределения непрерывных случайных величин описывают с помощью функции, которая определена на множестве значений этой случайной величины — функции плотности вероятности.

Пусть ${\displaystyle X}$ — случайная величина, ${\displaystyle [a;b]}$— отрезок числовой прямой, а событие ${\displaystyle a\leqslant X\leqslant b}$ имеет вероятность ${\displaystyle P(a\leqslant X\leqslant b)}$. Функция ${\displaystyle y=f(x)}$удовлетворяет двум условиям:

1. Функция неотрицательна: ${\displaystyle f(x)>0}$ для всех ${\displaystyle x}$.
2. Площадь фигуры, заключённой между графиком функции ${\displaystyle y=f(x)}$ и осью абсцисс, равна 1.

Если функция удовлетворяет условиям 1 и 2, то эта функция является функцией плотности вероятности некоторой случайной величины ${\displaystyle X}$. При этом для любого отрезка ${\displaystyle [a;b]}$ площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции ${\displaystyle y=f(x)}$ и осью абсцисс на отрезке ${\displaystyle [a;b]}$, равна ${\displaystyle P(a\leqslant X\leqslant b)}$^[7]. (Рис.1).

Рис.1

• Если в конкретной ситуации известно выражение для ${\displaystyle f(x)}$, с его помощью можно вычислить

вероятность попадания величины ${\displaystyle \xi }$ в интервал ${\displaystyle [a,b]}$ как ${\displaystyle P(\xi \in [a,b])=\int _{a}^{b}f(x)\,{\mbox{d}}x}$.

• Зная плотность вероятности, можно также определить наиболее вероятное значение (моду) случайной величины как максимум ${\displaystyle f(x)}$.

• Среднее значение случайной величины с использованием плотности вероятности:

${\displaystyle E\xi =\int _{-\infty }^{+\infty }xf(x)\,{\mbox{d}}x}$.

Группировку данных применяют для того, чтобы представить, насколько плотно распределены значения на каждом участке числовой прямой. Чтобы сгруппировать данные, нужно разбить числовую прямую на одинаковые промежутки — интервалы группировки. Длина интервала называется шагом группировки. Затем подсчитывают долю значений в каждом интервале. Получаются частоты значений в интервалах. По полученным данным строят диаграмму частот — гистограмму. Пример гистограммы представлен на рисунке ниже.

Динамика численности населения России с 1800 по 2012 гг.

Описательная статистика выступает краеугольным инструментом анализа данных, обеспечивая эффективное их суммирование и представление. Она закладывает основу для последующих этапов статистического анализа и обоснованного принятия решений на базе эмпирических данных.