Операции над нечеткими множествами

Пусть A и B — нечёткие множества, где A, B ⊆ U, а u — любой элемент (например, значение) из универсального множества U: u ∈ U.

Стандартное дополнение

${\displaystyle \mu _{\lnot {A}}(u)=1-\mu _{A}(u)}$

Дополнение иногда обозначается как ∁A или A^∁ вместо ¬A.

Стандартное пересечение

${\displaystyle \mu _{A\cap B}(u)=\min\{\mu _{A}(u),\mu _{B}(u)\}}$

Стандартное объединение

${\displaystyle \mu _{A\cup B}(u)=\max\{\mu _{A}(u),\mu _{B}(u)\}}$

В более общем виде тройка (i, u, n) называется тройкой де Моргана (англ. De Morgan triple), которая является биэквивалентной (тогда и только тогда, когда):

• i — t-норма,
• u — t-конорма (также известна как s-норма),
• n — сильный негатор,

таким образом, для любых x, y ∈ [0,1] выполняется:

u(x, y) = n(i(n(x), n(y)))

(обобщённое соотношение де Моргана)^[1]. Это влечёт за собой аксиомы, приведённые ниже.

Функция принадлежности μ_A(x) определяет степень, с которой элемент x принадлежит множеству A. Пусть ∁A — нечёткое дополнение множества A определённого типа c. Тогда μ_∁A(x) — степень того, насколько x принадлежит дополнению ∁A, то есть насколько x не принадлежит A. (Аналогично, μ_A(x) показывает степень, с которой x не принадлежит дополнению.) Дополнение ∁A задаётся функцией

c: [0,1] → [0,1]

Для любого x ∈ U: μ_∁A(x) = c(μ_A(x))

Аксиома c1. Граничное условие

c(0) = 1 и c(1) = 0

Аксиома c2. Монотонность

Для любых a, b ∈ [0, 1], если a < b, то c(a) > c(b)

Аксиома c3. Непрерывность

c — непрерывная функция.

Аксиома c4. Инволютивность

c — инволюция, то есть c(c(a)) = a для любого a ∈ [0,1]

Функция c является сильным негатором (также известным как нечёткое дополнение).

Функция c, удовлетворяющая аксиомам c1 и c3, имеет хотя бы одну неподвижную точку a^*, для которой c(a^*) = a^*, а если также выполняется аксиома c2 — существует ровно одна такая точка. Для стандартного негатора c(x) = 1−x единственная неподвижная точка — a^* = 0,5^[2].

Пересечение двух нечётких множеств A и B обычно определяется как бинарная операция на единичном отрезке, то есть функцией вида

i: [0,1]×[0,1] → [0,1].

Для любого x ∈ U: μ_{A ∩ B}(x) = i(μ_A(x), μ_B(x))

Аксиома i1. Граничное условие

i(a, 1) = a

Аксиома i2. Монотонность

b ≤ d влечёт i(a, b) ≤ i(a, d)

Аксиома i3. Коммутативность

i(a, b) = i(b, a)

Аксиома i4. Ассоциативность

i(a, i(b, d)) = i(i(a, b), d)

Аксиома i5. Непрерывность

i — непрерывная функция

Аксиома i6. Субидемпотентность

i(a, a) < a для любого 0 < a < 1

Аксиома i7. Строгая монотонность

i(a₁, b₁) < i(a₂, b₂), если a₁ < a₂ и b₁ < b₂

Аксиомы с i1 по i4 определяют t-норму (также называемую нечётким пересечением). Стандартная t-норма min — единственная идемпотентная t-норма (то есть i(a, a) = a для любого a ∈ [0,1])^[2].

Объединение двух нечётких множеств A и B обычно задаётся бинарной операцией на единичном отрезке

u: [0,1]×[0,1] → [0,1].

Для любого x ∈ U: μ_{A ∪ B}(x) = u(μ_A(x), μ_B(x))

Аксиома u1. Граничное условие

u(a, 0) = u(0, a) = a

Аксиома u2. Монотонность

b ≤ d влечёт u(a, b) ≤ u(a, d)

Аксиома u3. Коммутативность

u(a, b) = u(b, a)

Аксиома u4. Ассоциативность

u(a, u(b, d)) = u(u(a, b), d)

Аксиома u5. Непрерывность

u — непрерывная функция

Аксиома u6. Суперидемпотентность

u(a, a) > a для любого 0 < a < 1

Аксиома u7. Строгая монотонность

a₁ < a₂ и b₁ < b₂ влечёт u(a₁, b₁) < u(a₂, b₂)

Аксиомы с u1 по u4 определяют t-конорму (также известную как s-норма или нечёткое объединение). Стандартная t-конорма max — единственная идемпотентная t-конорма (то есть u(a, a) = a для любого a ∈ [0,1])^[2].

Операции агрегации в нечётких множествах позволяют объединять несколько нечётких множеств желаемым образом с получением одного нечёткого множества.

Агрегация n нечётких множеств (2 ≤ n) определяется функцией

h: [0,1]ⁿ → [0,1]

Аксиома h1. Граничное условие

h(0, 0, …, 0) = 0 и h(1, 1, …, 1) = 1

Аксиома h2. Монотонность

Для любых двух n-кортежей <a₁, a₂, ..., aₙ> и <b₁, b₂, ..., bₙ>, таких что для всех i∈{1,…,n} aᵢ, bᵢ ∈ [0,1], если aᵢ ≤ bᵢ для любого i, то h(a₁, …, aₙ) ≤ h(b₁, …, bₙ); то есть h возрастает по всем аргументам.

Аксиома h3. Непрерывность

h — непрерывная функция.