Обыкновенные и десятичные дроби, проценты, бесконечные периодические дроби (ЕГЭ-ОГЭ)

Обыкновенная дробь — это запись вида ${\displaystyle {\dfrac {a}{b}}}$, где ${\displaystyle a}$ — числитель (целое число), а ${\displaystyle b}$ — знаменатель (натуральное число, не равное нулю). Обыкновенные дроби служат для обозначения частей целого, разделённого на равные фрагменты.

• Правильная дробь: числитель меньше знаменателя (${\displaystyle a<b}$). Например: ${\displaystyle {\dfrac {3}{5}}}$.
• Неправильная дробь: числитель больше или равен знаменателю (${\displaystyle a\geq b}$). Например: ${\displaystyle {\dfrac {7}{4}}}$.

Неправильную дробь можно представить в форме смешанного числа: ${\displaystyle {\dfrac {7}{4}}=1{\dfrac {3}{4}}}$.

• Сложение и вычитание: приводят дроби к общему знаменателю, после чего складывают или вычитают числители.

 Пример: ${\displaystyle {\dfrac {1}{2}}+{\dfrac {1}{3}}={\dfrac {3}{6}}+{\dfrac {2}{6}}={\dfrac {5}{6}}}$.

• Умножение: осуществляют перемножение числителей и знаменателей соответственно.

 Пример: ${\displaystyle {\dfrac {2}{3}}\cdot {\dfrac {3}{4}}={\dfrac {6}{12}}={\dfrac {1}{2}}}$.

• Деление: первую дробь умножают на обратную ко второй.

 Пример: ${\displaystyle {\dfrac {2}{3}}\div {\dfrac {4}{5}}={\dfrac {2}{3}}\cdot {\dfrac {5}{4}}={\dfrac {10}{12}}={\dfrac {5}{6}}}$.

Десятичная дробь — дробь, у которой знаменатель представляет собой степень числа 10 (10, 100, 1000 и т. д.). При записи используют запятую для отделения целой и дробной частей.

• Пример: ${\displaystyle 0{,}75={\dfrac {75}{100}}={\dfrac {3}{4}}}$.

Чтобы получить десятичную дробь, необходимо разделить числитель на знаменатель.

• Пример: ${\displaystyle {\dfrac {1}{4}}=0{,}25}$.

Дробную часть представляют в виде обыкновенной дроби со знаменателем — степенью 10, после чего её сокращают.

• Пример: ${\displaystyle 0{,}6={\dfrac {6}{10}}={\dfrac {3}{5}}}$.

Процент (от лат. pro centum — «на сотню») — это одна сотая часть числа; обозначается знаком «%». Проценты применяют для выражения доли от целого в сотых долях.

• Пример: ${\displaystyle 25\%={\dfrac {25}{100}}=0{,}25}$.

• В десятичную дробь: разделить число процентов на 100.

 Пример: ${\displaystyle 75\%=0{,}75}$.

• В обыкновенную дробь: записать число процентов в числителе и 100 в знаменателе, затем сократить дробь.

 Пример: ${\displaystyle 40\%={\dfrac {40}{100}}={\dfrac {2}{5}}}$.

• Формула: ${\displaystyle {\text{Число}}\times {\dfrac {\text{Процент}}{100}}}$.

 Пример: найти 20 % от 50: ${\displaystyle 50\times {\dfrac {20}{100}}=10}$.

Бесконечная периодическая десятичная дробь — это дробь, у которой группа цифр после запятой повторяется бесконечно.

• Пример: ${\displaystyle 0{,}333\dots =0{,}(3)}$, где цифра «3» повторяется бесконечно.

• **Алгоритм преобразования**:

 1. Пусть ${\displaystyle x=0{,}(3)}$.
 2. Умножим на 10 (если период состоит из одной цифры): ${\displaystyle 10x=3{,}(3)}$.
 3. Вычтем исходное выражение: ${\displaystyle 10x-x=9x=3}$.
 4. Получим ${\displaystyle x}$: ${\displaystyle x={\dfrac {3}{9}}={\dfrac {1}{3}}}$.

Знание обыкновенных и десятичных дробей, процентов и бесконечных периодических дробей необходимо для работы с дробными числами. Умение переводить и выполнять операции с различными видами дробей позволяет эффективно решать математические задачи и понимать взаимосвязь между их представлениями.