Оболочка Мандельброта

Оболочка Мандельброта — трёхмерный фрактал, аналог множества Мандельброта, созданный Дэниелом Уайтом и Полом Ниландером с использованием гиперкомплексной алгебры, основанной на сферических координатах. Назван в честь создателя фрактальной геометрии Бенуа Мандельброта^[1].

Формула для n-й степени трёхмерного гиперкомплексного числа ${\displaystyle \langle x,y,z\rangle }$ следующая:

${\displaystyle \langle x,y,z\rangle ^{n}=r^{n}\langle \cos(n\theta )\cos(n\phi ),\sin(n\theta )\cos(n\phi ),\sin(n\phi )\rangle ,}$

где

${\displaystyle {\begin{aligned}r&={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}},\\\theta &=\operatorname {arctg} (y/x),\\\phi &=\operatorname {arctg} \left(z/{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)=\arcsin(z/r).\end{aligned}}}$

Была использована итерация ${\displaystyle z\mapsto z^{n}+c}$, где z и c — трёхмерные гиперкомплексные числа, на которых операция возведения в натуральную степень выполняется так, как это указано выше^[2]. Для n > 3 результатом является трёхмерный фрактал. Чаще всего используется восьмая степень.