Несходство Брея — Кёртиса

Несходство Брея — Кёртиса ${\displaystyle BC_{jk}}$ между двумя участками j и k определяется как

${\displaystyle BC_{jk}=1-{\frac {2C_{jk}}{S_{j}+S_{k}}}=1-{\frac {2\sum _{i=1}^{p}min(N_{ij},N_{ik})}{\sum _{i=1}^{p}(N_{ij}+N_{ik})}}}$

где ${\displaystyle N_{ij}}$ — количество экземпляров вида i на участке j, ${\displaystyle N_{ik}}$ — количество экземпляров вида i на участке k, а p — общее число видов в выборках.

В альтернативной сокращённой записи ${\displaystyle C_{jk}}$ — это сумма меньших значений численности каждого вида. ${\displaystyle S_{j}}$ и ${\displaystyle S_{k}}$ — общее количество учтённых экземпляров на обоих участках. Индекс может быть упрощён до 1-2C/2 = 1-C, если численности на каждом участке выражены в долях, однако обе формы уравнения дают совпадающие результаты только тогда, когда общее количество экземпляров на обоих участках одинаково. Более подробное рассмотрение приведено у Лежандра и Лежандра^[2].

Несходство Брея — Кёртиса ограничено значениями от 0 до 1, где 0 означает, что оба участка имеют одинаковый состав (то есть содержат все одни и те же виды), а 1 — что участки не имеют общих видов. При промежуточных значениях BC (например, BC = 0,5) этот индекс отличается от других часто используемых индексов^[3].

Несходство Брея — Кёртиса непосредственно связано с количественным индексом сходства Сёренсена ${\displaystyle QS_{jk}}$ для тех же участков:

${\displaystyle {\overline {BC}}_{jk}=1-QS_{jk}}$.

Несходство Брея — Кёртиса часто ошибочно называют расстоянием («Хорошо определённая функция расстояния подчиняется неравенству треугольника, однако существует несколько обоснованных мер различия между выборками, которые не обладают этим свойством: чтобы отличать их от истинных расстояний, мы часто называем их несходствами»^[4]). Это не расстояние, так как оно не удовлетворяет неравенству треугольника, и всегда должно называться несходством во избежание путаницы.

Для простого примера рассмотрим данные из двух аквариумов с 3 видами рыб, как показано в таблице. В таблице приведено количество каждого вида в каждом аквариуме, а также некоторые статистики, необходимые для вычисления несходства Брея — Кёртиса.

Для вычисления несходства Брея — Кёртиса сначала определим ${\displaystyle C_{jk}}$ — сумму только меньших значений численности для каждого вида, встречающегося на обоих участках. Золотая рыбка встречается на обоих участках; меньшее значение — 6. Гуппи есть только на одном участке, поэтому меньшее значение — 0 и не вносит вклад в сумму. Радужница также есть в обоих, и меньшее значение — 4. Таким образом, ${\displaystyle C_{jk}=6+0+4=10}$.

${\displaystyle S_{j}}$ (общее количество экземпляров на участке j) ${\displaystyle =6+7+4=17}$, а

${\displaystyle S_{k}}$ (общее количество экземпляров на участке k) ${\displaystyle =10+0+6=16}$.

Это приводит к ${\displaystyle BC_{jk}=1-(2\times 10)/(17+16)=0,39}$.