Неравенство Больцмана

Для любой функции распределения ${\displaystyle f}$, удовлетворяющей уравнению Больцмана, выполняется неравенство

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle \int (\ln f) Q(f,f) \frac{{\rm d}\mathbf{p}}{m} \leqslant 0,}

где Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle Q(f,f)}  — интеграл столкновений, ${\displaystyle \mathbf {p} }$ — импульс, ${\displaystyle m}$ — масса частиц. Знак равенства при этом достигается в том и только том случае, когда Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://restbase-svc.restbase.svc.production22.local:7231/ru-mediawiki.ruwiki.svc.production22.local/v1/»:): {\displaystyle f(\mathbf{p})=\exp\left({a+\left(\mathbf{b},\frac{\mathbf{p}}{m}\right)+c\,\frac{p^2}{m^2}}\right),} что соответствует распределению Максвелла (здесь ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle c}$ — скалярные, а ${\displaystyle \mathbf {b} }$ — векторная константы; внутренние круглые скобки обозначают скалярное произведение векторов)^[1].

Доказательство есть в известной книге К. Черчиньяни^[2].