Индексное множество

И́ндексное мно́жество — множество, чьими элементами помечены (индексированы) элементы другого множества^[1]^[2]. Например, если элементы множества $A$ могут быть помечены множеством $J$ , то $J$ является индексным множеством. Индексирование представляет собой сюръективную функцию из $J$ в $A$ , а индексированное множество обычно называется (индексированным) семейством. Это семейство также может быть обозначено как $\{A_{j}\}_{j\in J}$ .

Элементы любого конечного множества $S$ можно перечислить. Любое такое перечисление можно рассматривать как индексацию $f:J\to S$ на индексном множестве $J=\{1,2,\dots ,|S|\}$ .
Любое счётное множество может быть проиндексировано множеством натуральных чисел $\mathbb {N}$ .
Для любого вещественного числа $r\in \mathbb {R}$ , можно рассмотреть индикаторную функцию $\mathbf {1} _{r}:\mathbb {R} \to \{0,1\}$ , такую что

\mathbf {1} _{r}(x):={\begin{cases}0,&{\mbox{если }}x\neq r\\1,&{\mbox{если }}x=r.\end{cases}}

Семейство всех функций

\mathbf {1} _{r}

образуют несчётное множество, которое может быть проиндексировано множеством вещественных чисел

\mathbb {R}

.

↑ Weisstein, Eric Index Set (неопр.). Wolfram MathWorld. Wolfram Research. Дата обращения: 30 декабря 2013. Архивировано 31 декабря 2013 года.
↑ Munkres, James R. Topology. — Upper Saddle River: Prentice Hall, 2000. — Т. 2.

Селиванов В. Л. Иерархическая классификация арифметических множеств и индексные множества : специальность 01.01.06 "Математическая логика, алгебра и теория чисел" : автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук / Селиванов Виктор Львович. – Новосибирск, 1989. – 24 с.
Селиванов В. Л. Индексные множества классов гипер-гиперпростых множеств / В. Л. Селиванов // Алгебра и логика. – 1990. – Т. 29, № 2. – С. 220-240.
Гончаров С. С. Индексные множества автоустойчивых относительно сильных конструктивизаций конструктивных моделей естественных классов / С. С. Гончаров, Н. А. Баженов, М. И. Марчук // Доклады Академии наук. – 2015. – Т. 464, № 1. – С. 12. – DOI 10.7868/S0869565215250064.
Гончаров С. С. Индексное множество автоустойчивых относительно сильных конструктивизаций булевых алгебр / С. С. Гончаров, Н. А. Баженов, М. И. Марчук // Сибирский математический журнал. – 2015. – Т. 56, № 3(331). – С. 498-512.
Баженов Н. А. Вычислимая категоричность и индексные множества / Н. А. Баженов // МАЛЬЦЕВСКИЕ ЧТЕНИЯ : Международная конференция. Тезисы докладов, Новосибирск, 19–22 ноября 2018 года. – Новосибирск: Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт математики им. С. Л. Соболева, 2018. – С. 13.
Марчук М. И. Индексное множество автоустойчивых упорядоченных абелевых групп / М. И. Марчук // Математические труды. – 2020. – Т. 23, № 1. – С. 169-176. – DOI 10.33048/mattrudy.2020.23.108.

[1] Weisstein, Eric Index Set (неопр.). Wolfram MathWorld. Wolfram Research. Дата обращения: 30 декабря 2013. Архивировано 31 декабря 2013 года.

[2] Munkres, James R. Topology. — Upper Saddle River: Prentice Hall, 2000. — Т. 2.

[1]

[2]

Индексное множество

Примеры

Примечания

Литература

Категории