Множество, операции над множествами

Множество — это совокупность объектов, называемых элементами множества или просто элементами. Множества являются фундаментальным понятием математики и позволяют описывать и анализировать коллекции объектов.

Основные понятия

Элемент множества — объект, принадлежащий множеству. Если элемент a принадлежит множеству A, то пишут: $a\in A$ . Если не принадлежит, то: $a\notin A$ .

Задание множества осуществляется двумя способами:

 * Перечислением элементов: например, множество гласных русского алфавита.
 * Указанием свойства: множество квадратов натуральных чисел:  $B=\{x\mid x=n^{2},\,n\in \mathbb {N} \}$ .

Подмножество — множество A является подмножеством множества B, если каждый элемент A принадлежит B: $A\subseteq B$ .

Равенство множеств — множества равны, если содержат одни и те же элементы: $A=B\Leftrightarrow A\subseteq B{\text{ и }}B\subseteq A$ .

Операции над множествами

Операции над множествами позволяют создавать новые множества на основе существующих.

Объединение множеств

Объединение множеств A и B — множество всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из них: $A\cup B=\{x\mid x\in A{\text{ или }}x\in B\}.$

Пересечение множеств

Пересечение множеств A и B — множество элементов, принадлежащих одновременно обоим множествам: $A\cap B=\{x\mid x\in A{\text{ и }}x\in B\}.$

Разность множеств

Разность множеств A и B — множество элементов, принадлежащих A, но не принадлежащих B: $A\setminus B=\{x\mid x\in A,\,x\notin B\}.$

Симметрическая разность

Симметрическая разность множеств A и B — множество элементов, принадлежащих только одному из множеств: $A\bigtriangleup B=(A\setminus B)\cup (B\setminus A).$

Дополнение множества

Дополнение множества A относительно универсального множества U — множество элементов, не принадлежащих A: $A^{\complement }=U\setminus A.$

Декартово произведение

Декартово произведение множеств A и B — множество упорядоченных пар, где первый элемент из A, а второй из B: $A\times B=\{\,(a,\,b)\mid a\in A,\,b\in B\,\}.$

Мощность множества

Мощность множества — количество элементов в множестве. Для конечных множеств это число элементов: $|A|=n,{\text{ где }}n{\text{ — число элементов множества }}A.$

Законы операций над множествами

Законы де Моргана:

 *  $(A\cup B)^{\complement }=A^{\complement }\cap B^{\complement }$ ;
 *  $(A\cap B)^{\complement }=A^{\complement }\cup B^{\complement }$ .

Ассоциативность:

 *  $A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C$ ;
 *  $A\cap (B\cap C)=(A\cap B)\cap C$ .

Дистрибутивность:

 *  $A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$ ;
 *  $A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$ .

Иллюстрации

Пересечение множеств A и B: A ∩ B

На диаграммах Эйлера и Венна операции над множествами изображаются графически, что помогает в их понимании.

Заключение

Понимание множеств и операций над ними является основой для изучения многих разделов математики. Эти концепции используются в алгебре, математическом анализе, теории вероятностей и других областях. Умение работать с множествами важно для решения различных математических задач и подготовки к экзаменам по математике.

Литература

Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, М. В. Ткачёва, Н. Е. Фёдорова, М. И. Шабунин. Учебник «Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс» (рус.). — 2012.
А. Г. Мерзляк, Д. А. Номировский, В. М. Поляков. Учебник «Алгебра и начала математического анализа 10-11 класс. Углублённый уровень» (рус.). — 2019.
Учебник «ЕГЭ-2024. Математика. Базовый уровень. 30 типовых экзаменационных вариантов» (рус.) / И. В. Ященко. — 2024.
Д. А. Мальцев, А. А. Мальцев, Л. И. Мальцева. Учебник «МАТЕМАТИКА Подготовка к ЕГЭ 2025 Базовый уровень» (рус.). — 2024.