Многочлены (ЕГЭ-ОГЭ)

• Одночлен — алгебраическое выражение, являющееся произведением чисел, переменных и их степеней. Одночленами считают также числа, переменные и их степени.
• Стандартный вид одночлена — алгебраическое выражение, являющееся произведением числового множителя, стоящего на первом месте, и степеней различных переменных. К стандартному виду можно привести любой одночлен^[1].

• Коэффициент одночлена — числовой множитель ненулевого одночлена стандартного вида.^[2]
• Произведение одночленов — это одночлен, множителями которого являются все множители данных одночленов.

• Степень одночлена — сумма показателей степеней всех входящих в данный одночлен переменных. Если одночлен не содержит переменных и является числом, отличным от нуля, то степень этого одночлена считают равной нулю.

• Многочлен — сумма конечного числа одночленов. Если многочлен состоит из двух членов, его называют двучленом; если из трёх членов — трёхчленом. Одночлен считают многочленом, состоящим из одного члена^[3].

• Степень многочлена — наибольшая степень одночлена, входящего в многочлен.

• Свободный член многочлена — одночлен нулевой степени, то есть числовой член без переменных.

1. Два одночлена считают равными, если они отличаются друг от друга лишь порядком множителей. Для записи равенства двух одночленов используют знак равенства: ${\displaystyle a3cb=3abc}$.

2. Два одночлена считают равными, если один из них получен из другого заменой некоторых его числовых множителей их произведением:${\displaystyle a\cdot 3\cdot c\cdot 7=21ac}$.

3. Одночлен считают равным нулю, если среди его множителей есть число нуль: ${\displaystyle a\cdot 0\cdot c\cdot 7=0}$.

4. Два одночлена считают равными, если один из них получен из другого опусканием множителя единицы: ${\displaystyle a\cdot 1\cdot c\cdot b=abc}$.

5. Два одночлена считают равными, если один из них получен из другого заменой произведения множителей, каж-дый из которых есть одна и та же буква, соответствующей степенью этой буквы: ${\displaystyle 5a^{2}bab^{3}=5a^{3}b^{4}}$.

6. Если перед одночленом поставить знак «${\displaystyle +}$» (плюс), то получится одночлен, равный исходному: ${\displaystyle +3abc=3abc}$.

7. Если перед одночленом поставить знак «${\displaystyle -}$» (минус), то получится одночлен, равный исходному, умноженному на число ${\displaystyle (-1)}$: ${\displaystyle -5abc=(-1)5abc}$. Одночлен и такой же одночлен, но со знаком минус перед ним называют противоположными одночленами^[4].

В стандартном виде одночлена числовой коэффициент записывается первым, а затем следуют буквенные множители в виде степеней, расположенные по алфавиту: ${\displaystyle {\frac {1}{3}}x^{3}y^{2}z}$.

Ненулевые одночлены в стандартном виде называют подобными, если их буквенные части совпадают, а отличаются они лишь числовыми коэффициентами. Слагаемые, не имеющие буквенной части, также являются подобными. Замена суммы подобных одночленов одним одночленом, равным этой сумме — это приведение подобных членов:

${\displaystyle 3abc^{2}-5abc^{2}+2+8abc^{2}+7=(3-5+8)abc^{2}+(2+7)=6abc^{2}+9}$.

Любой многочлен можно привести к стандартному виду. Для этого нужно каждый его член представить в стандартном виде, привести подобные члены и расположить их в порядке убывания степеней:

${\displaystyle 5a^{2}b+2+4ab-3a^{2}b-7=(5-3)a^{2}b+4ab+(2-7)=2a^{2}b+4ab-5}$.

• Сумма двух многочленов определяется как многочлен, включающий все одночлены обоих слагаемых:

Запишем сумму многочленов ${\displaystyle x^{2}+2x+15}$ и ${\displaystyle y^{3}+2z+7y}$:
${\displaystyle (x^{2}+2x+15)+(y^{3}+2z+7y)=x^{2}+2x+15+y^{3}+2z+7y}$.

• Разность двух многочленов представляет собой многочлен, в котором члены первого сохраняют знак, а члены второго принимают противоположный:

Запишем разность многочленов ${\displaystyle x^{2}+2x+15}$ и ${\displaystyle y^{3}+2z+7y}$:
${\displaystyle (x^{2}+2x+15)-(y^{3}+2z+7y)=x^{2}+2x+15-y^{3}-2z-7y}$.

При умножении одночленов и возведении одночлена в степень используются правило умножения степеней с одинаковыми основаниями и правило возведения степени в степень. При этом получается одночлен, который обычно представляют в стандартном виде^[1].

Умножение одночлена на многочлен выполняется путём умножения данного одночлена на каждый член многочлена с последующим приведением результата к стандартному виду:

Перемножим ${\displaystyle x^{2}}$ и ${\displaystyle y+2x-3}$:                                                                             ${\displaystyle x^{2}(y+2x-3)=x^{2}y+2x^{3}-3x^{2}}$.

Вынесение за скобки общего множителя многочлена

Обратная операция заключается в выделении общего множителя из всех членов многочлена, что позволяет представить его в виде произведения одночлена и многочлена:

Вынесем за скобки общий множитель: ${\displaystyle 10x^{5}y+2x^{4}-4x^{3}=2x^{3}(5x^{2}y+x-2)}$.

Умножение многочлена на многочлен

При умножении двух многочленов каждый одночлен первого умножается на каждый одночлен второго, после чего полученный многочлен приводят к стандартному виду:

Перемножим ${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$ и ${\displaystyle 2x-4y}$:
${\displaystyle (x^{2}+y^{2})(2x-4y)=2x^{3}+2xy^{2}-4x^{2}y-4y^{3}}$.

Преобразовать многочлен в произведение можно разными способами:

• Использование формул сокращённого умножения (ФСУ):

${\displaystyle x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y)}$

• Деление многочлена на многочлен по алгоритму «в столбик» позволяет получить частное и остаток:

Разделим ${\displaystyle x^{3}-12x^{2}-42}$ на ${\displaystyle x-3}$:
${\displaystyle x^{3}-12x^{2}-42=(x-3)(x^{2}-9x-27)-123}$

Результат деления: ${\displaystyle {\frac {x^{3}-12x^{2}-42}{x-3}}=(x^{2}-9x-27)-{\frac {123}{x-3}}}$.

• Нахождение корней многочлена — приравнивание его к нулю и решение уравнения:

Разложим квадратный двучлен ${\displaystyle x^{2}-5x+6}$ на множители:
Приравняем к нулю: ${\displaystyle x^{2}-5x+6=0}$
Найдём корни: ${\displaystyle x_{1}=2}$ и ${\displaystyle x_{2}=3}$ и запишем исходный многочлен в виде произведения: ${\displaystyle (x-2)(x-3)}$.

Многочлены могут зависеть от нескольких переменных, например:

• ${\displaystyle P(x,y)=x^{2}+xy+y^{2}}$

• Однородный многочлен — многочлен, все одночлены которого имеют одинаковую степень. Пример: ${\displaystyle x^{2}+2xy+y^{2}}$ (степень 2).

• Решение алгебраических уравнений и неравенств.
• Моделирование в физике и технике.
• Аппроксимация функций (теорема Вейерштрасса).
• Анализ и построение графиков функций.

Многочлены являются незаменимым инструментом в алгебре и математическом анализе, обеспечивая возможность решения разнообразных математических задач. Владение приёмами операций с многочленами и знание их свойств важно для эффективной подготовки к экзаменам и дальнейшего изучения математики.