Медианта (математика)
Медиантой двух дробей и с положительными знаменателями называется дробь, числитель которой равен сумме числителей, а знаменатель — сумме знаменателей двух данных дробей:
Свойства
Медианта двух дробей заключена между ними, то есть
- если , то .
Доказательство
- Это свойство является следствием соотношений
- и
Если записать 2 дроби, а потом несколько раз между каждыми 2 соседними дробями их медианту, то получится ряд Фарея.
История
Понятие медианты двух дробей введено А.Я.Хинчиным[1] в теории цепных дробей для целей лучшего уяснения взаимного расположения и закона последовательного образования промежуточных дробей. Однако, в теории цепных дробей, для исследования промежуточных дробей, термин «медианта» не прижился[2]. В других математических науках, например, в математическом анализе[3] и в теории обыкновенных дифференциальных уравнений[4] свойства медианты n отношений действительных чисел использовались при доказательстве некоторых положений, хотя само определение понятия медианты не было дано. Косвенно, наиболее широкое использование медианты n отношений действительных чисел нашло в прикладной математике, в частности в математической статистике.[5][6][7] Но определение медианты в этих работах также не было дано. Морис Клайн[8], по сути, заново «открыл» медианту, предложив «футбольную арифметику» сложения дробей. Такое сложение М.Клайн использовал для определения средней результативности футбольного игрока нападающего за две игры. Им также рассмотрены случаи определения эффективности торговли и средней скорости автомобиля на основе скоростей на двух участках пути.
В настоящее время медианта используется в демографии[9] и биологии[10].