Максимумы и минимумы функции

• Локальный максимум: Точка ${\displaystyle x_{0}}$ называется точкой локального максимума функции ${\displaystyle f(x)}$, если существует окрестность ${\displaystyle U=(x_{0}-\delta ,x_{0}+\delta )}$ такая, что для всех ${\displaystyle x\in U}$ выполняется неравенство:

 ${\displaystyle f(x_{0})\geqslant f(x)}$

• Локальный минимум: Точка ${\displaystyle x_{0}}$ называется точкой локального минимума функции ${\displaystyle f(x)}$, если существует окрестность ${\displaystyle U=(x_{0}-\delta ,x_{0}+\delta )}$ такая, что для всех ${\displaystyle x\in U}$ выполняется неравенство:

 ${\displaystyle f(x_{0})\leqslant f(x)}$

• Глобальный максимум: Точка ${\displaystyle x_{0}}$ отрезка ${\displaystyle [a;b]}$ является точкой глобального максимума функции ${\displaystyle f(x)}$ на этом отрезке, если ${\displaystyle f(x_{0})}$ есть наибольшее среди значений ${\displaystyle x}$ из ${\displaystyle [a;b]}$:

 ${\displaystyle f(x_{0})\geqslant f(x)}$, ${\displaystyle x\in [a;b]}$

• Глобальный минимум: Точка ${\displaystyle x_{1}}$ отрезка ${\displaystyle [a;b]}$ является точкой глобального минимума функции ${\displaystyle f(x)}$ на этом отрезке, если ${\displaystyle f(x_{1})}$ есть наименьшее среди значений ${\displaystyle x}$ из ${\displaystyle [a;b]}$:

 ${\displaystyle f(x_{1})\leqslant f(x)}$, ${\displaystyle x\in [a;b]}$

Если функция ${\displaystyle f(x)}$ дифференцируема в точке ${\displaystyle x_{0}}$ и имеет в этой точке локальный экстремум, то её производная равна нулю:

${\displaystyle f'(x_{0})=0}$

Такие точки называют стационарными точками функции.

Однако обратное утверждение неверно — равенство производной нулю не гарантирует наличие экстремума. Например, для функции ${\displaystyle f(x)=x^{3}}$ в точке ${\displaystyle x=0}$ производная равна нулю, но экстремума нет.

• Первый признак (по производной):

 Если производная функции меняет знак с «плюса» на «минус» при прохождении через точку ${\displaystyle x_{0}}$, то в этой точке функция имеет локальный максимум.
 Если производная меняет знак с «минуса» на «плюс» при прохождении через точку ${\displaystyle x_{0}}$, то в этой точке функция имеет локальный минимум.

• Второй признак (по второй производной):

 Если ${\displaystyle f'(x_{0})=0}$ и ${\displaystyle f''(x_{0})>0}$, то функция имеет локальный минимум в точке ${\displaystyle x_{0}}$.
 Если ${\displaystyle f'(x_{0})=0}$ и ${\displaystyle f''(x_{0})<0}$, то функция имеет локальный максимум в точке ${\displaystyle x_{0}}$.

• Функция ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ имеет глобальный минимум в точке ${\displaystyle x=0}$, так как для всех ${\displaystyle x}$ выполняется ${\displaystyle f(x)\geqslant 0}$.
• Функция ${\displaystyle f(x)=-x^{2}}$ имеет глобальный максимум в точке ${\displaystyle x=0}$, поскольку для всех ${\displaystyle x}$ выполняется ${\displaystyle f(x)\leqslant 0}$.

На графике функции точки экстремума соответствуют вершинам кривой.

Точки, в которых производная функции равна нулю или не существует, называются критическими точками. Экстремумы функции могут находиться только в критических точках или на границах области определения.

Понимание понятий максимумов и минимумов функции важно для исследования её поведения и решения задач оптимизации. Используя производные, можно эффективно находить экстремумы, что широко применяется в математике и её приложениях.