Максимальная равномерность

Это свойство впервые было описано Джоном Клафом и Джеком Дауэттом^[1]. Клаф и Дауэтт также предложили алгоритм построения максимально равномерных множеств. Для хроматической мощности c и мощности множества классов высот d максимально равномерное множество определяется формулой

${\displaystyle D={\left\lfloor {\frac {ck+m}{d}}\right\rfloor }}$

где k принимает значения от 0 до d − 1, а m — фиксированное число, 0 ≤ m ≤ c − 1; квадратные скобки обозначают функцию округления вниз. Подробное рассмотрение этих понятий содержится в работе Тимоти Джонсона, посвящённой математическим основам теории диатонических гамм^[2]. Джек Дауэтт и Ричард Кранц ввели понятие максимально равномерных множеств в математическую литературу^[3][4].

Гамма обладает свойством Майхилла, если каждый обобщённый интервал представлен двумя размерами конкретных интервалов, а гамма с этим свойством называется правильной гаммой^[5]. Диатоническая коллекция одновременно является и правильной гаммой, и максимально равномерной. Целотонная гамма также максимально равномерна, но не является правильной, поскольку каждый обобщённый интервал в ней представлен только одним размером.

Максимальная равномерность второго порядка — это максимальная равномерность подмножества в составе большего множества, которое само является максимально равномерным. Диатонические трезвучия и септаккорды обладают максимальной равномерностью второго порядка, будучи максимально равномерными относительно максимально равномерной диатонической гаммы, но не относительно хроматической гаммы. Эта вложенность напоминает «редукционный формат» Фреда Лердаля (Лердаль, 1992) для пространства высот снизу вверх:

В динамическом подходе были построены вращающиеся концентрические окружности и итеративные максимально равномерные множества. Такой подход имеет значение для неориемановой теории и позволяет выявить интересные связи между диатонической и хроматической теориями^[6]. Ян Куинн, затем Эммануэль Амио и другие исследовали альтернативные способы определения максимально равномерных множеств с помощью дискретного преобразования Фурье: максимально равномерное множество длины k обладает максимальным коэффициентом Фурье с индексом k^[7][8].