Логарифмические неравенства (ЕГЭ-ОГЭ)

В начале решения логарифмических неравенств необходимо перейти к системам условий, эквивалентным исходному неравенству. Это позволяет упростить выражения и определить область допустимых значений (ОДЗ) переменной.

Замена переменной

Пример

${\displaystyle \log _{3}^{2}x+8>6\log _{3}x}$;

${\displaystyle \log _{3}^{2}x-6\log _{3}x+8>0}$.

Выполним замену: ${\displaystyle log_{3}x=t}$;

Тогда получаем новое неравенство:

${\displaystyle t^{2}-6t+8>0}$.

${\displaystyle \log _{3}x<2}$ или ${\displaystyle \log _{3}x>4}$;

${\displaystyle 0<x<9}$ или ${\displaystyle x>81}$.

Ответ: ${\displaystyle x\in (0;9)\cup (81;+\infty )}$.

Использование свойств логарифма

${\displaystyle \log _{5}(6-6x)<\log _{5}(x^{2}-5x+4)+\log _{5}(x+3)}$.

${\displaystyle {\begin{cases}\log _{5}(6\cdot (1-x))<\log _{5}((x-1)(x-4)(x+3)),\\1-x>0,\\(x-1)(x-4)>0,\\x+3>0;\\\end{cases}}}$

${\displaystyle y=\log _{5}x}$ возрастает, так как ${\displaystyle 5>1}$.

${\displaystyle {\begin{cases}6(1-x)<(x-1)(x-4)(x+3),\\x-1<0,\\x-4<0,\\\end{cases}}}$

Разделим обе части неравенства на ${\displaystyle x-1<0}$:

${\displaystyle {\begin{cases}(x-4)(x+3)+6<0,\\-3<x<1;\\\end{cases}}}$

${\displaystyle {\begin{cases}x^{2}-x-6<0,\\-3<x<1;\\\end{cases}}}$

${\displaystyle {\begin{cases}-2<x<3,\\-3<x<1.\\\end{cases}}}$

Ответ: ${\displaystyle x\in (-2;1)}$.