Линейная частичная информация

В методе линейной частичной информации неопределённость формализуется через систему линейных ограничений (неравенств), накладываемых на априорное распределение вероятностей.

Вместо точных значений вероятностей задаются интервальные оценки, ординальное ранжирование или их комбинации.

Это позволяет оперировать множеством возможных распределений и применять принцип MaxEmin, заключающийся в выборе стратегии, максимизирующей минимальное ожидаемое значение.

Главное отличие метода ЛЧИ от классического линейного программирования заключается в подходе к исходным данным. Линейное программирование требует точно известных, детерминированных параметров и нацелено на поиск единственного оптимального решения^[2]. Метод ЛЧИ, напротив, работает с нечёткой и интервальной информацией, линеаризуя неопределённость через системы ограничений, и предлагает наиболее робастную стратегию, приемлемую в широком диапазоне возможных сценариев.

Любое действие основывается на решениях, принимаемых в условиях неясности и неопределённости данных, понятий и закономерностей. «Нечёткость мира» — это правило, а не исключение. Оптимальность тех решений, которые мы рассчитываем получить классическими методами при таких исходных данных, необходимо ставить под вопрос. Всё это требует мягкого (нечёткого) подхода к построению моделей. Как отмечал Лотфи Заде, чем сложнее объект моделирования, тем выше степень неопределённости данных и тем «мягче» должна быть модель.

Мягкая модель обладает тремя ключевыми свойствами:

• Вероятность осуществления модели, как правило, выше, чем у жёсткой модели;
• Мягкая модель более устойчива во времени;
• Она позволяет применять адаптивные методы и корректироваться с учётом новых данных и изменений условий.

Метод линейной частичной информации (ЛЧИ) рассматривается как альтернатива классической теории нечётких множеств Лотфи Заде. В то время как теория Заде работает с семантической неопределённостью через функции принадлежности, метод ЛЧИ оперирует стохастической неопределённостью через системы линейных неравенств. Вместо сложных для определения функций принадлежности подход Эдварда Кофлера использует линейные ограничения для распределений вероятностей или весовых коэффициентов.

Понятия нечётких равновесных точек (одностадийная устойчивость) и многостадийной устойчивости формулируются на основе оптимизационных принципов с учётом неточных (нечётких) данных. В принимаемых решениях применяется принцип «MaxEmin» для среднего значения и Прогностический принцип принятия решений (PEP) для разовых выборов с учётом индивидуальной склонности к риску лица, принимающего решение. В задачах с многоступенчатыми отдельными решениями поиск стабилизирующих стратегий связан с обучением и регулированием в рамках адаптивной процедуры.

Нечёткость, преобразованная (по ЛЧИ) с высокой достоверностью, рассматривается как множество возмущений. Оптимальные стратегии определяются с помощью принципа MaxEmin для среднего значения и Прогностического принципа принятия решений (PEP) для разовых решений, в области нечёткости ЛЧИ, с учётом индивидуальной склонности к риску принимающего решение.

Алгоритм принятия решений по принципу MaxEmin (максимизация минимальной ожидаемой полезности) состоит из следующих шагов:

• Определение пространства состояний природы и множества доступных стратегий;
• Задание линейной частичной информации (ЛЧИ) о вероятностях в виде системы линейных неравенств;
• Вычисление минимальной (гарантированной) ожидаемой полезности для каждой стратегии;
• Выбор стратегии, имеющей максимальное значение из найденных минимальных ожидаемых полезностей.

Прогностический принцип (PEP) учитывает склонность к риску лица, принимающего решение, с использованием критерия Гурвица:

• Решение выбирается путём максимизации взвешенной суммы минимальной и максимальной ожидаемой полезности;
• Степень оптимизма выражается через коэффициент α (от 0 до 1);
• Значение α = 0 соответствует поведению, не склонному к риску (пессимист, принцип MaxEmin), а α = 1 — склонному к риску (оптимист, принцип MaxEMax).

Каждая оптимальная стратегия обладает свойством равновесной точки: отклонение от неё, как правило, приводит к разочарованиям. Это касается как одно-, так и многосценарных решений при жёстком (точном) распределении, например в задачах выбора с риском или с нормальным распределением. Например, поиск максимального ожидаемого значения в инвестиционных, портфельных или многоуровневых моделях. Также в стратегических играх равновесные точки характеризуются «свойством отклонения».

При условии принадлежности результатов выбора к области устойчивости для принимающего решения, равновесные стратегии считаются устойчивыми. Из этого следует, что достоверность жёстких моделей и связанных с ними решений находится под вопросом.

В рамках метода линейной частичной информации вводится понятие интервала устойчивости — диапазона, в пределах которого выбранная стратегия остаётся оптимальной при изменении или уточнении исходных неполных данных. Математические доказательства устойчивости таких решений базируются на анализе свойств выпуклых многогранников.

Хотя во многих практических ситуациях нет полной информации, возможно определение нечётких равновесных точек и условий устойчивости. Это проявляется в инвестиционных и портфельных моделях, экономическом планировании, а также в нечётких моделях стратегических конфликтов и кооперативных переговоров. В обыденных ситуациях принятия решений часто вырабатывается стратегия взаимодействия при взаимной терпимости, что также приводит к нечётким равновесным стратегиям и условиям устойчивости.

Конкретные примеры практического применения метода включают:

• Оценку страхуемости новых и сложных рисков (например, портфелей криптоактивов). Метод позволяет страховщикам принимать обоснованные решения об андеррайтинге при наличии лишь частичной информации о вероятности убытков, рассчитывая максимальный ожидаемый убыток с помощью критерия MaxEmin^[3];
• Анализ целесообразности запуска инновационных продуктов. ЛЧИ применяется в условиях неопределённости относительно реакции рынка, действий конкурентов или получения одобрения от регуляторов, позволяя выбрать оптимальную стратегию на основе нечётких данных^[4].