Лестница Мёбиуса

Любая лестница Мёбиуса является непланарным верхушечнным графом. Число скрещиваний лестницы Мёбиуса равно единице, и граф может быть вложен без самопересечений в тор или проективную плоскость (то есть является тороидальным графом). Ли^[3] изучил вложение этих графов в поверхности более высоких родов.

Лестницы Мёбиуса являются вершинно-транзитивными, но (за исключением ${\displaystyle M_{6}}$) не рёберно-транзитивными — каждое ребро цикла, из которого лестница образована, принадлежит единственному 4-рёберному циклу, в то время как каждая перекладина принадлежит двум таким циклам.

Если ${\displaystyle n\equiv 2{\pmod {4}}}$, то ${\displaystyle M_{n}}$ является двудольным. При ${\displaystyle n\equiv 2{\pmod {4}}}$ по теореме Брукса хроматическое число ${\displaystyle M_{n}}$ равно 3. Известно^[4], что лестница Мёбиуса однозначно определяется её многочленом Татта.

Лестница Мёбиуса ${\displaystyle M_{8}}$ имеет 392 остовных дерева. Этот граф и ${\displaystyle M_{6}}$ имеют наибольшее число остовных деревьев среди кубических графов с тем же числом вершин^[5][6]. Однако среди кубических графов с 10 вершинами наибольшее число остовных деревьев у графа Петерсена, который не является лестницей Мёбиуса.

Многочлены Татта лестниц Мёбиуса можно получить по простой рекуррентной формуле^[7].

Лестницы Мёбиуса играют важную роль в теории миноров графа. Самым ранним результатом такого типа является теорема Вагнера^[8] о том, что граф, не содержащий ${\displaystyle K_{5}}$-миноров, может быть образован с использованием сумм по клике для комбинирования планарных графов и лестницы Мёбиуса ${\displaystyle M_{8}}$ (в этой связи ${\displaystyle M_{n}}$ называют графом Вагнера.

Все 3-связные почти-планарные графы^[9] являются лестницами Мёбиуса или принадлежат небольшому числу других семейств, притом остальные почти-планарные графы можно получить из этих графов с помощью ряда простых операций^[10].

Почти все графы, не содержащие куб в качестве минора, могут быть получены из лестниц Мёбиуса в результате последовательного применения простых операций^[11].

В 1982 году синтезирована молекулярная структура, имеющую форму лестницы Мёбиуса^[12], и с тех пор такие графы представляют интерес для химиков и химической стереографии^[13], особенно в свете похожих на лестницу Мёбиуса молекул ДНК. Имея это в виду, особо изучены математические симметрии вложений лестниц Мёбиуса в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$^[14].

Лестницы Мёбиуса используются как модель сверхпроводимого кольца в экспериментах по изучению эффектов топологии проводимости при взаимодействии электронов^[15][16].

Лестницы Мёбиуса используются также в информатике как часть подхода целочисленного программирования к задачам упаковки множеств и линейного упорядочивания. Некоторые конфигурации в этих задачах могут быть использованы для определения граней политопов, описывающих ослабление условий линейного программирования. Эти грани называются ограничениями лестниц Мёбиуса^{[17][18][19][20]}.