Координаты вектора. Скалярное произведение векторов, угол между векторами

Ве́ктор — это направленный отрезок, у которого есть собственные начало и конец. Если начало и конец представлены некоторыми точками, значит, на плоскости или в пространстве у них есть свои координаты.

Если же у каждой точки есть свои координаты, то можно получить и координаты самого вектора.

Пусть имеется некоторый вектор, у которого начало и конец имеют следующие обозначения и координаты: ${\displaystyle A(Ax;Ay)}$ и ${\displaystyle B(Bx;By)}$.

Чтобы получить координаты данного вектора, необходимо из координат конца вектора вычесть соответствующие координаты начала:

${\displaystyle C(Cx;Cy)=C(Bx-Ax;By-Ay);}$

Для определения координат вектора в пространстве следует воспользоваться следующей формулой:

${\displaystyle C(Cx;Cy;Cz;)=C(Bx-Ax;By-Ay;Bz-Az);}$

Существует два способа определения понятия скалярного произведения.

Геометрический способ. Согласно ему, скалярное произведение равно произведению величин модулей данных векторов на косинус угла между ними.

${\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=|{\vec {a}}|\cdot |{\vec {b}}|\cos \theta }$

Алгебраический смысл. С точки зрения алгебры, скалярное произведение двух векторов — это некая величина, которая получается в результате суммы произведений соответствующих векторов.

${\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}}$

Если векторы заданы в пространстве, то следует воспользоваться аналогичной формулой.

${\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}+z_{1}z_{2}}$

Свойства

• Скалярное произведение ненулевых векторов может быть равно нулю только в том случае, если вектора перпендикулярны друг другу.
• Если скалярное произведение двух векторов положительно, то угол между ними острый.
• Если скалярное произведение двух векторов отрицательно, то угол между ними тупой.
• Скалярное произведение коммутативно, то есть от перестановки векторов скалярное произведение не изменится.
• Для скалярного произведения также векторов справедлив переместительный закон в случае с умножением одного из векторов на число.
• При скалярном произведении также можно использовать дистрибутивное свойство умножения.

Если два вектора выходят из одной точки, то угол между ними — это угол, который описывает вектор при переходе по кратчайшему пути из своего первоначального положения в положение, при котором он будет сонаправленным.

Обобщив алгебраическую и геометрическую формулировки скалярного произведения, можно получить выражение для косинуса угла между двумя векторами.

Углом ${\displaystyle \theta }$ между двумя ненулевыми векторами евклидова пространства (в частности, евклидовой плоскости) называется число, косинус которого равен отношению скалярного произведения этих векторов к произведению их длин (норм):

${\displaystyle \cos \theta ={\frac {(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}{|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |}}\ (0\leqslant \theta \leqslant \pi ).}$