Кинетическое уравнение Больцмана

Уравнение Больцмана описывает эволюцию во времени функции распределения ${\displaystyle f(\mathbf {x} ,\mathbf {p} ,t)}$ в одночастичном фазовом пространстве, где ${\displaystyle \mathbf {x} }$, ${\displaystyle \mathbf {p} }$ и ${\displaystyle t}$ — координата, импульс и время, соответственно. Распределение определяется так, что:

${\displaystyle f(\mathbf {x} ,\mathbf {p} ,t)\,d^{3}x\,d^{3}p}$

пропорционально числу частиц в фазовом объёме ${\displaystyle d^{3}x\,d^{3}p}$ в момент времени ${\displaystyle t}$. Уравнение Больцмана имеет вид:

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {\partial f}{\partial \mathbf {x} }}\cdot {\frac {\mathbf {p} }{m}}+{\frac {\partial f}{\partial \mathbf {p} }}\cdot \mathbf {F} (\mathbf {x} ,t)=\left.{\frac {\partial f}{\partial t}}\right|_{\mathrm {coll} }.}$

Здесь ${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {x} ,t)}$ — поле сил, действующее на частицы в жидкости или газе, а ${\displaystyle m}$ — масса частиц. Слагаемое в правой части уравнения добавлено для учёта столкновений между частицами и называется интегралом столкновений. Если оно равно нулю, то частицы не сталкиваются вовсе. Этот случай часто называют одночастичным уравнением Лиувилля. Если поле сил ${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {x} ,t)}$ заменить подходящим самосогласованным полем, зависящим от функции распределения ${\displaystyle f}$, то получим уравнение Власова, описывающее динамику заряженных частиц плазмы в самосогласованном поле. Классическое же уравнение Больцмана используется в физике плазмы, а также в физике полупроводников и металлов (для описания кинетических явлений, то есть переноса заряда или тепла, в электронной жидкости).

В гамильтоновой механике уравнение Больцмана часто записывается в более общем виде:

${\displaystyle {\hat {\mathbf {L} }}[f]=\mathbf {C} [f]}$,

где ${\displaystyle \mathbf {L} }$ — оператор Лиувилля, описывающий эволюцию объёма фазового пространства и ${\displaystyle \mathbf {C} }$ — оператор столкновений. Нерелятивистская форма оператора ${\displaystyle \mathbf {L} }$ выглядит следующим образом

${\displaystyle {\hat {\mathbf {L} }}_{\mathrm {NR} }={\frac {\partial }{\partial t}}+{\frac {\mathbf {p} }{m}}\cdot \nabla _{\mathbf {x} }+\mathbf {F} \cdot \nabla _{\mathbf {p} },}$

а в общей теории относительности

${\displaystyle {\hat {\mathbf {L} }}_{\mathrm {GR} }=\sum _{\alpha }p^{\alpha }{\frac {\partial }{\partial x^{\alpha }}}-\sum _{\alpha \beta \gamma }\Gamma _{\beta \gamma }^{\alpha }p^{\beta }p^{\gamma }{\frac {\partial }{\partial p^{\alpha }}},}$

где ${\displaystyle \Gamma }$ — символ Кристоффеля.

Столкновения между частицами приводят к изменению их скоростей. Если ${\displaystyle W(\mathbf {v} ,\mathbf {v} ^{\prime })d^{3}v^{\prime }dt}$ задаёт вероятность рассеяния частицы из состояния со скоростью ${\displaystyle \mathbf {v} }$ в состояние со скоростью ${\displaystyle \mathbf {v} ^{\prime }}$, то интеграл столкновений для классических частиц записывается в виде:

${\displaystyle \left.{\frac {\partial f}{\partial t}}\right|_{coll}=\int _{\mathbf {v} ^{\prime }}[f(t,\mathbf {r} ,\mathbf {v} ^{\prime })W(\mathbf {v} ^{\prime },\mathbf {v} )-f(t,\mathbf {r} ,\mathbf {v} )W(\mathbf {v} ,\mathbf {v} ^{\prime })]d^{3}v^{\prime }}$.

В случае квантового характера статистики частиц это выражение усложняется, поскольку двум частицам невозможно находиться в состоянии с одинаковыми квантовыми числами, а поэтому нужно учитывать невозможность рассеяния в занятые состояния.

Уравнение Больцмана — сложное интегро-дифференциальное уравнение в частных производных. Кроме того, интеграл столкновений зависит от конкретной системы, от типа взаимодействия между частицами и других факторов. Нахождение общих характеристик неравновесных процессов затруднительно. Известно, что в состоянии термодинамического равновесия интеграл столкновений равен нулю. Действительно, в состоянии равновесия в однородной системе при отсутствии внешних полей все производные в левой части уравнения Больцмана равны нулю, поэтому интеграл столкновений тоже должен равняться нулю.

При малых отклонениях от равновесия функцию распределения можно представить в виде:

${\displaystyle f=f_{0}+f_{1}}$,

где ${\displaystyle f_{0}(\mathbf {v} )}$ — равновесная функция распределения, которая известна из термодинамики и зависит только от скоростей частиц, а ${\displaystyle f_{1}}$ — небольшое отклонение.

В этом случае можно разложить интеграл столкновений в ряд Тейлора относительно функции ${\displaystyle f_{1}}$, и записать его в виде:

${\displaystyle \left.{\frac {\partial f}{\partial t}}\right|_{\mathrm {coll} }=-{\frac {f_{1}}{\tau }}=-{\frac {f-f_{0}}{\tau }}}$,

где ${\displaystyle \tau }$ — время релаксации. Такое приближение называется приближением времени релаксации или моделью интеграла столкновений Бхатнагара-Гросса-Крука. Время релаксации, входящее в уравнение Больцмана, зависит от скорости частиц, а следовательно, энергии. Время релаксации можно рассчитать для конкретной системы с конкретными процессами рассеяния частиц.

Уравнение Больцмана в приближении времени релаксации записывается в виде:

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla f+{\frac {\mathbf {F} }{m}}\cdot \nabla _{\mathbf {v} }f=-{\frac {f-f_{0}}{\tau }}}$.

Микроскопический вывод уравнения Больцмана из первых принципов (исходя из точного уравнения Лиувилля для всех частиц среды) производится путём обрыва цепочки уравнений Боголюбова на уровне парной корреляционной функции для классических^[1] и квантовых^[2] систем. Учёт в цепочке кинетических уравнений корреляционных функций более высокого порядка позволяет находить поправки к уравнению Больцмана^[3].