Иррациональные уравнения

Если обе части иррационального уравнения возвести в одну и ту же нечётную степень, освободившись от радикалов, получится уравнение равносильное исходному.

При возведении уравнения в чётную степень получают уравнение, являющееся следствием исходного. При этом возможно появление посторонних корней уравнения. Причина в том, что при возведении в чётную степень чисел равных по абсолютной величине, но разных по знаку получается один и тот же результат.

Решим уравнение ${\displaystyle {\sqrt {x^{2}+4x-5}}=4x-8}$

Возведём обе части уравнения в квадрат:

${\displaystyle ({\sqrt {x^{2}+4x-5}})^{2}=(4x-8)^{2}}$

при этом мы расширяем область допустимых значений (ОДЗ) для подкоренных выражений.

Так, когда ${\displaystyle 4x-8}$ был приравнен к заведомо положительному числу (так как ${\displaystyle {\sqrt {x^{2}+4x-5}}\geqslant 0}$ в силу определения арифметического корня), переменная ${\displaystyle x}$ не могла принимать значения, которые бы обратили ${\displaystyle 4x-8}$ в отрицательные числа, значит ${\displaystyle 4x-8\geqslant 0}$ или ${\displaystyle x\geqslant 2}$.

Следовательно, при решении необходимо учитывать ОДЗ исходного уравнения в виде ${\displaystyle x\geqslant 2}$. После возведения обеих частей в квадрат получаем уравнение:

${\displaystyle x^{2}+4x-5=16x^{2}-64x+64}$,

Продолжая решать и упрощать, получим квадратное уравнение:

${\displaystyle 15x^{2}-68x+69=0}$, корнями которого являются:

${\displaystyle x=3}$ и ${\displaystyle x={\frac {23}{15}}}$

Корни первоначального уравнения не могут быть меньше 2, а корень ${\displaystyle x={\frac {23}{15}}\approx 1.533333...<2}$, следовательно он не может быть корнем исходного уравнения.

Ответ: ${\displaystyle x=3}$