Иррациональная последовательность

Степени двойки ${\displaystyle 2^{2^{n}}}$ образуют иррациональную последовательность. Тем не менее, хотя последовательность Сильвестра:

2, 3, 7, 43, 1807, 3 263 443, …

(в которой каждый член на единицу больше произведения всех предыдущих членов) также растёт со скоростью двойной экспоненты, она не образует иррациональную последовательность. Если положить ${\displaystyle x_{n}=1}$, получим

${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{43}}+\cdots =1,}$

которая сходится к рациональному числу. Подобным же образом факториалы ${\displaystyle n!}$ не образуют иррациональную последовательность, поскольку последовательность ${\displaystyle x_{n}=n+2}$ приводит к последовательности с рациональной суммой:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+2)n!}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{30}}+{\frac {1}{144}}+\cdots =1}$^[1].

Любая последовательность a_n, которая растёт со скоростью, такой что

${\displaystyle \limsup _{n}{\frac {\log \log a_{n}}{n}}>\log 2}$

является иррациональной последовательностью. Сюда входят последовательности, которые растут быстрее двойной экспоненты, как и некоторые двойные экспоненциальные последовательности растущие быстрее, чем степень степени двух^[1].

Любая иррациональная последовательность должна расти достаточно быстро, так что

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}^{1/n}=\infty .}$

Однако не известно, существует ли такая последовательность, в которой НОД любой пары множителей равен 1 (в отличие от степени степени двух) и для которой

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}^{1/2^{n}}<\infty }$^[4].

По аналогии с иррациональными последовательностями, Ханч (Hančl 1996) определил трансцендентные последовательности как последовательности целых чисел a_n, такие, что для любой последовательности x_n положительных целых чисел сумма последовательности:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{a_{n}x_{n}}}}$

существует и является трансцендентным числом^[5].