Интеграл (ЕГЭ-ОГЭ)

• Первообразная — это функция ${\displaystyle F(x)}$, производная которой совпадает с заданной функцией ${\displaystyle f(x)}$, то есть ${\displaystyle F'(x)=f(x)}$. Пример: для ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ первообразной является ${\displaystyle F(x)={\dfrac {x^{3}}{3}}+C}$.

• Неопределённый интеграл — множество всех первообразных функции ${\displaystyle f(x)}$, обозначаемый как ${\displaystyle \int f(x)\,dx=F(x)+C}$, где ${\displaystyle C}$ — постоянная интегрирования. Постоянная интегрирования C необходима, поскольку существует бесконечное множество функций, имеющих одну и ту же производную.

• Определённый интеграл — численная величина, равная разности значений первообразной на концах заданного отрезка:

 :${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)}$.
 Этот инструмент применяют для вычисления площадей, выполнения работы и других физических расчётов.

• Линейность интегрирования:

 :${\displaystyle \int [f(x)\pm g(x)]\,dx=\int f(x)\,dx\pm \int g(x)\,dx}$.
 

• Вынесение константы:

 :${\displaystyle \int k\cdot f(x)\,dx=k\cdot \int f(x)\,dx}$.
 

• Интегрирование по частям:

 :${\displaystyle \int u(x)\cdot v'(x)\,dx=u(x)\cdot v(x)-\int v(x)\cdot u'(x)\,dx}$.

• Интегрирование по подстановке:

 :При замене переменной ${\displaystyle x=\varphi (t)}$ следует:
 :${\displaystyle \int f(x)\,dx=\int f(\varphi (t))\cdot \varphi '(t)\,dt}$.

• ${\displaystyle \int x^{n}\,dx={\dfrac {x^{n+1}}{n+1}}+C}$, при ${\displaystyle n\neq -1}$.
• ${\displaystyle \int {\dfrac {dx}{x}}=\ln |x|+C}$.
• ${\displaystyle \int e^{kx}\,dx={\dfrac {e^{kx}}{k}}+C}$.
• ${\displaystyle \int \sin(kx)\,dx=-{\dfrac {\cos(kx)}{k}}+C}$.
• ${\displaystyle \int \cos(kx)\,dx={\dfrac {\sin(kx)}{k}}+C}$.

• Вычисление перемещения по скорости:

 :При известной функции скорости ${\displaystyle v(t)}$ перемещение ${\displaystyle s}$ за промежуток времени от ${\displaystyle t_{1}}$ до ${\displaystyle t_{2}}$ вычисляется по формуле:
 :${\displaystyle s=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}v(t)\,dt}$.
 
 * Пример: при ${\displaystyle v(t)=t^{2}+1}$ перемещение от ${\displaystyle t=0}$ до ${\displaystyle t=1}$ равно:
   :${\displaystyle s=\int \limits _{0}^{1}(t^{2}+1)\,dt=\left[{\dfrac {t^{3}}{3}}+t\right]_{0}^{1}={\dfrac {1}{3}}+1={\dfrac {4}{3}}}$.

• Вычисление работы по силе:

 :Если сила ${\displaystyle F(x)}$ зависит от перемещения, то работа ${\displaystyle A}$ определяется выражением:
 :${\displaystyle A=\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}F(x)\,dx}$.

 Пример: при ${\displaystyle F(x)=x+3}$ работа при перемещении от ${\displaystyle x=1}$ до ${\displaystyle x=2}$ равна:
   :${\displaystyle A=\int \limits _{1}^{2}(x+3)\,dx=\left[{\dfrac {x^{2}}{2}}+3x\right]_{1}^{2}=\left(2+6\right)-\left(0{,}5+3\right)=4{,}5}$.

• Нахождение площади под кривой:

 :Площадь под графиком функции ${\displaystyle y=f(x)}$ на участке от ${\displaystyle x=a}$ до ${\displaystyle x=b}$ вычисляется по формуле:
 :${\displaystyle S=\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx}$.
 
 Пример: площадь под кривой ${\displaystyle y=4x-x^{2}}$ от ${\displaystyle x=0}$ до ${\displaystyle x=4}$ вычисляется как:
   :${\displaystyle S=\int \limits _{0}^{4}(4x-x^{2})\,dx=\left[2x^{2}-{\dfrac {x^{3}}{3}}\right]_{0}^{4}=\left(32-{\dfrac {64}{3}}\right)={\dfrac {32}{3}}}$.

Интеграл выступает ключевым инструментом в математике для решения задач, связанных с накоплением величин и вычислением площадей. Освоение интегрирования и его свойств необходимо для изучения высшей математики и применения в различных научных областях.