Индекс Тейла

Индексы Тейла ${\displaystyle T_{1}}$ и ${\displaystyle T_{0}}$ рассчитываются по следующим формулам^[3]:

${\displaystyle T_{1}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {x_{i}}{\overline {x}}}\cdot \ln {\frac {x_{i}}{\overline {x}}}\right)}$

${\displaystyle T_{0}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\left(\ln {\frac {\overline {x}}{x_{i}}}\right)}$

где ${\displaystyle x_{i}}$ доход ${\displaystyle i}$-го индивидуума, ${\displaystyle {\overline {x}}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}}$ среднее значение дохода, и ${\displaystyle N}$ количество индивидуумов в популяции. Если доходы всех индивидуумов равны, то индексы Тейла равны нулю. Если доход всей популяции сконцентрирован в руках одного индивидуума, то индексы Тейла равны ln N. Иногда в литературе индексом Тейла называется только индекс ${\displaystyle T_{1}}$, в то время как ${\displaystyle T_{0}}$ называется среднелогарифмическим отклонением^[4]. Среднелогарифмическое отклонение чувствительно к изменениям у нижней границы шкалы распределения, в то время как индекс Тейла одинаково чувствителен к изменениям по всей шкале распределения^[5].

Если популяция разбита на группы ${\displaystyle G_{1},...,G_{J}}$, то индекс Тейла можно записать как

${\displaystyle T=\sum _{j=1}^{J}\omega _{j}*T(G_{j})+T(\{y_{1},...,y_{J}\}),}$

где ${\displaystyle \omega _{j}={\frac {N_{j}}{N}}{\frac {y_{j}}{\overline {x}}}}$, ${\displaystyle y_{j}}$ — среднее значение дохода в группе ${\displaystyle G_{j}}$, ${\displaystyle {\overline {x}}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}}$ среднее значение дохода во всей популяции, ${\displaystyle N_{j}}$ — количество индивидуумов в группе ${\displaystyle G_{j}}$ и ${\displaystyle N}$ — количество индивидуумов в популяции^[2]. Отношение ${\displaystyle {\frac {T(\{y_{1},...,y_{J}\})}{T}}}$ — процент социального неравенства, объяснимый заданным разбиением на группы. Так, по 32,6 % неравенства уровней расходов в Индонезии может быть объяснено уровнем образования главы семьи, 18,9 % провинцией проживания и только 2,6 % гендером главы семьи^[6].

Индекс Тейла инвариантен по отношению к умножению, то есть, он не изменяется при девальвации. Индекс Тейла не инвариантен по отношению к сложению.

Индекс Аткинсона вычисляется с применением функции ${\displaystyle 1-e^{-T}}$, где ${\displaystyle T}$ — индекс Тейла^[7].

Кроме многочисленных применений в области экономики^[6], индекс Тейла используется при оценке качества ирригационных систем^[8] и распределения метрик программного обеспечения^[9].