Замена вероятностной меры

В теории вероятностей вероятностная мера определяется аксиоматически, соответственно на одном и том же пространстве событий могут быть определены потенциально разные вероятностные меры. В теории меры используется понятие абсолютной непрерывности одной меры относительно другой и более сильное понятие взаимной абсолютной непрерывности мер — эквивалентность мер. Меры называются эквивалентными, если любое событие нулевой меры в одной из них имеет нулевое значение и в другой мере.

Теорема Радона-Никодима утверждает, что для таких мер существует случайная величина, с помощью которой можно перейти от одной меры к другой. Такая случайная величина Z называется производной Радона-Никодима и ее удобно обозначать по аналогии с обычными производными как ${\displaystyle {d\mathbb {Q} \over d\mathbb {P} }}$. При таком обозначении очевидным становится равенство, которое собственно и представляет собой определение производной Радона-Никодима:

${\displaystyle \mathbb {Q} (A)=\int \limits _{A}{d\mathbb {Q} \over d\mathbb {P} }d\mathbb {P} =\int \limits _{A}Zd\mathbb {P} }$

В случае именно вероятностных мер производная Радона-Никодима предполагается нормализованной в том смысле, что ее математическое ожидание в «старой» мере должно быть равно единице, так как это равно значению «новой» меры всего пространства событий, что по определению должно быть равно единице.

Отсюда несложно также видеть как связано математическое ожидание в одной мере с математическим ожиданием в другой

${\displaystyle \mathbb {E} ^{\mathbb {Q} }(X)=\int ZXd\mathbb {P} =\mathbb {E} ^{\mathbb {P} }(ZX)}$

Можно показать, что в случае условных математических ожиданий выполнено равенство (собственно обобщенная формула Байеса)

${\displaystyle \mathbb {E} _{\mathcal {F}}^{\mathbb {Q} }(X)={\mathbb {E} _{\mathcal {F}}^{\mathbb {P} }(ZX) \over \mathbb {E} _{\mathcal {F}}^{\mathbb {P} }(Z)}}$

Для случайных процессов предполагается заданным не только вероятностное пространство, но и фильтрация событий — поток сигма алгебр ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$, «вложенных» в полную сигма-алгебру событий. В финансовой теории эти сигма-алгебры интерпретируются как «информация доступная к данному моменту». Относительно этой «информации» могут рассматриваться условные математические ожидания будущих значений случайных процессов.

Учитывая общую формулу Байеса можно записать следующую формулу

${\displaystyle \mathbb {E} _{t}^{\mathbb {Q} }(X_{T})={\mathbb {E} _{t}^{\mathbb {P} }(Z_{T}X_{T}) \over z_{t}}=\mathbb {E} _{t}^{\mathbb {P} }({Z_{T} \over z_{t}}X_{T})}$ , где ${\displaystyle z_{t}=\mathbb {E} _{t}^{\mathbb {P} }(Z_{T})}$ — так называемый процесс плотности

Пусть V — процесс стоимости актива, и даны два процесса A и B, такие что отношения V/A и V/B являются мартингалами соответственно в мере Q^A и Q^B (такие меры называют мартингальными). Это означает, что

${\displaystyle {V_{t} \over A_{t}}=\mathbb {E} _{t}^{\mathbb {Q} ^{A}}({V_{T} \over A_{T}})}$ и ${\displaystyle {V_{t} \over B_{t}}=\mathbb {E} _{t}^{\mathbb {Q} ^{B}}({V_{T} \over B_{T}})}$

Но поскольку текущая стоимость актива одна и та же и не зависит от меры, то отсюда получаем формулу связи условных математических ожиданий в таких мерах

${\displaystyle \mathbb {E} _{t}^{\mathbb {Q} ^{A}}({V_{T} \over A_{T}})={B_{t} \over A_{t}}\mathbb {E} _{t}^{\mathbb {Q} ^{B}}({V_{T} \over B_{T}})=\mathbb {E} _{t}^{\mathbb {Q} ^{B}}({B_{t}A_{T} \over A_{t}B_{T}}{V_{T} \over A_{T}})}$

Это по существу и есть формула замены мартингальных мер. Также полезно получить отсюда выражение для процесса плотности. Учитывая формулу замены меры для случайных процессов из этой формулы следует, что в данном случае для процесса плотности имеет место равенство

${\displaystyle {Z_{T} \over Z_{t}}={B_{t}A_{T} \over A_{t}B_{T}}={A_{T}/B_{T} \over A_{t}/B_{t}}}$

Отсюда следует, что процесс плотности ${\displaystyle Z_{t}}$ пропорционален процессу ${\displaystyle A_{t}/B_{t}}$, а поскольку процесс плотности в нулевой момент времени должен быть равен единице, то этот коэффициент пропорциональности должен быть равен обратной величине этого процесса в нулевой момент времени:

${\displaystyle Z_{t}={A_{t}/B_{t} \over A_{0}/B_{0}}}$

В риск-нейтральной мере базой стоимости (numeraire) является банковский счет, а в форвардной мере — бескупонная облигация. Согласно общей формуле замены меры имеем

${\displaystyle \mathbb {E} _{t}^{\mathbb {Q} ^{T}}(V_{T})=\mathbb {E} _{t}^{\mathbb {Q} }({B_{t}P(T,T) \over B_{T}P(t,T)}V_{T})=\mathbb {E} _{t}^{\mathbb {Q} }({D(t,T) \over P(t,T)}V_{T})}$

Учитывая, что процесс стоимости дисконтной облигации ${\displaystyle P(t,T)=\mathbb {E} _{t}^{\mathbb {Q} }[D(t,T)]}$ является фактически t-измеримым случайным процессом, то его можно вынести за знак математического ожидания и тогда получаем следующую формулу

${\displaystyle V_{t}=\mathbb {E} _{t}^{\mathbb {Q} }(D(t,T)V_{T})=P(t,T)\mathbb {E} _{t}^{\mathbb {Q} ^{T}}(V_{T})}$

Первая формула- формула оценки в риск-нейтральной мере, вторая — в форвардной мере.