Закон сохранения энергии в идеальном колебательном контуре (ЕГЭ-ОГЭ)

Зако́н сохране́ния эне́ргии в идеа́льном колеба́тельном ко́нтуре — физический закон, согласно которому в идеальном колебательном контуре суммарная энергия электрического и магнитного полей остаётся неизменной во времени. В каждый момент полная энергия контура совпадает с максимальным значением энергии либо электрического, либо магнитного поля^[1].

Идеальный колебательный контур включает конденсатор ёмкостью ${\displaystyle C}$ и катушку индуктивности ${\displaystyle L}$, соединённые без учёта электрического сопротивления. Отсутствие потерь на сопротивление и излучение обеспечивает полный переход энергии между электрической и магнитной формами без затухания^[2].

Полная энергия W идеального колебательного контура определяется как сумма энергий электрического поля конденсатора ${\displaystyle W_{C}}$ и магнитного поля катушки индуктивности ${\displaystyle W_{L}}$:

${\displaystyle W=W_{C}(t)+W_{L}(t)={\text{const}}.}$

Эта запись выражает закон сохранения энергии в контуре.

Энергия электрического поля конденсатора рассчитывается по формуле:

${\displaystyle W_{C}={\dfrac {q^{2}}{2C}},}$

где q — заряд на обкладках конденсатора, а ${\displaystyle C}$ — его ёмкость.

Энергия магнитного поля катушки индуктивности вычисляется как:

${\displaystyle W_{L}={\dfrac {LI^{2}}{2}},}$

где ${\displaystyle I}$ — сила тока в контуре, ${\displaystyle L}$ — индуктивность катушки.

В идеальном колебательном контуре энергия циклично переходит из электрического поля в магнитное и обратно. Изначально конденсатор заряжен до максимального заряда ${\displaystyle q_{max}}$, ток в цепи отсутствует, и вся энергия сосредоточена в электрическом поле конденсатора:

${\displaystyle W=W_{C}={\dfrac {q_{\text{max}}^{2}}{2C}}.}$

В этот момент энергия магнитного поля равна нулю:

${\displaystyle W_{L}=0.}$

При разрядке конденсатора заряд ${\displaystyle {{\ce {q}}}}$ уменьшается, при этом в цепи появляется ток ${\displaystyle I}$, и энергия переходит в магнитное поле катушки:

${\displaystyle W_{L}={\dfrac {LI^{2}}{2}}.}$

Когда конденсатор полностью разряжен (${\displaystyle q=0}$), энергия электрического поля также равна нулю:

${\displaystyle W_{C}=0.}$

Одновременно ток достигает максимального значения ${\displaystyle I_{max}}$, и вся энергия находится в магнитном поле катушки:

${\displaystyle W=W_{L}={\dfrac {LI_{\text{max}}^{2}}{2}}.}$

Далее процесс повторяется в обратном порядке: магнитное поле уменьшается, индуцируя ЭДС, которая вновь заряжает конденсатор, но уже с противоположной полярностью. Энергия возвращается в электрическую форму.

Существует соотношение между максимальными значениями заряда и тока в контуре:

${\displaystyle I_{\text{max}}=\omega q_{\text{max}},}$

где ${\displaystyle \omega }$ — циклическая частота собственных колебаний контура, по формуле Томсона определяемая как:

${\displaystyle \omega ={\dfrac {1}{\sqrt {LC}}}.}$

Следовательно, максимальная энергия магнитного поля равна максимальной энергии электрического поля:

${\displaystyle W_{L}^{\text{max}}=W_{C}^{\text{max}}={\dfrac {q_{\text{max}}^{2}}{2C}}={\dfrac {LI_{\text{max}}^{2}}{2}}.}$

Закон сохранения энергии в идеальном колебательном контуре демонстрирует фундаментальный принцип физики: энергия не создаётся и не исчезает, а лишь преобразуется из одной формы в другую. В таком контуре непрерывно осуществляется обмен энергией электрического поля конденсатора и магнитного поля катушки при неизменной полной энергии системы. Это явление лежит в основе работы множества электронных устройств и имеет ключевое значение в радиотехнике и связи.