Закон сохранения механической энергии (ЕГЭ-ОГЭ)

Классическим примером подтверждения этого закона служат пружинный или математический маятники с пренебрежимо малым затуханием. В процессе колебаний пружинного маятника потенциальная энергия деформированной пружины (наибольшая в крайних положениях груза) преобразуется в кинетическую энергию груза (максимальную в момент прохождения грузом положения равновесия) и обратно. Для математического маятника потенциальная энергия груза в поле силы тяжести изменяется аналогичным образом.

Закон сохранения механической энергии можно вывести из второго закона Ньютона, если допустить, что в консервативной системе все силы, действующие на тело, потенциальны и, следовательно, могут быть представлены в виде

${\displaystyle {\vec {F}}=-\nabla U\left({\vec {r}}\right),}$

где ${\displaystyle U\left({\vec {r}}\right)}$ — потенциальная энергия материальной точки (${\displaystyle {\vec {r}}}$ — радиус-вектор точки в пространстве). В этом случае второй закон Ньютона для одной частицы записывается в виде

${\displaystyle m{\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}}{\mathrm {d} t}}=-\nabla U\left({\vec {r}}\right),}$

где ${\displaystyle m}$ — масса частицы, ${\displaystyle {\vec {v}}}$ — вектор её скорости. Скалярно домножив обе части этого уравнения на скорость частицы и приняв во внимание, что ${\displaystyle {\vec {v}}=\mathrm {d} {\vec {r}}/\mathrm {d} t}$, можно получить

${\displaystyle m{\vec {v}}{\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}}{\mathrm {d} t}}=-\nabla U\left({\vec {r}}\right){\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}}{\mathrm {d} t}}.}$

Путём элементарных операций это выражение может быть записано в виде

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left[{\frac {mv^{2}}{2}}+U({\vec {r}})\right]=0.}$

Из этого следует, что выражение, стоящее под знаком дифференцирования по времени, остаётся постоянным. Это выражение называется механической энергией материальной точки. Первый член суммы соответствует кинетической энергии, а второй — потенциальной.

Этот вывод легко обобщить на систему материальных точек.