Зависимость силы тяжести от высоты h над поверхностью планеты радиусом R0

Зави́симость си́лы тя́жести от высоты́ h над пове́рхностью плане́ты ра́диусом R₀ — это изменение ускорения свободного падения с увеличением высоты над поверхностью планеты^[1].

По мере удаления от планеты сила тяжести уменьшается, что влияет на движение объектов вблизи её поверхности и на орбиты искусственных спутников.

• Сила тяжести — сила, с которой планета притягивает к себе тело массой m. Выражается формулой:

 ${\displaystyle F=G{\frac {Mm}{R^{2}}},}$
 где:
 - G — гравитационная постоянная (${\displaystyle 6{,}67430\times 10^{-11}\,{\text{м}}^{3}\cdot {\text{кг}}^{-1}\cdot {\text{с}}^{-2}}$),
 - M — масса планеты,
 - R — расстояние от центра планеты до тела.

• Ускорение свободного падения (g) — ускорение, которое приобретает тело под действием силы тяжести в отсутствие вращения планеты. На поверхности планеты оно равно:

 ${\displaystyle g_{0}=G{\frac {M}{R_{0}^{2}}},}$
 где R₀ — радиус планеты.

Ускорение свободного падения на высоте ${\displaystyle h}$ над поверхностью планеты определяется формулой:

${\displaystyle g(h)=G{\frac {M}{(R_{0}+h)^{2}}}=g_{0}\left({\frac {R_{0}}{R_{0}+h}}\right)^{2}.}$

Это показывает, что ускорение свободного падения уменьшается обратно пропорционально квадрату расстояния от центра планеты. На рисунке показана диаграмма сил, действующих на точку, расположенную на поверхности Земли, то есть ${\displaystyle h=0}$.

Для высот, значительно меньших радиуса планеты (${\displaystyle h\ll R_{0}}$), можно использовать приближённую формулу:

${\displaystyle g(h)\approx g_{0}\left(1-{\frac {2h}{R_{0}}}\right).}$

Это означает, что при небольших высотах ускорение свободного падения линейно уменьшается с ростом высоты.

Рассчитаем ускорение свободного падения на высоте 10 км над поверхностью Земли (R₀ ≈ 6371 км, g₀ ≈ 9,81 м/с²):

${\displaystyle g(10\,{\text{км}})=9{,}81\left({\frac {6371}{6371+10}}\right)^{2}\approx 9{,}779\,{\text{м/с}}^{2}.}$

Таким образом, на высоте 10 км ускорение свободного падения уменьшится примерно на 0,03 м/с².

При малых высотах снижение ускорения незначительно, но с увеличением высоты уменьшение величины ускорения становится более заметным.

• Космонавтика: Расчёт орбитальных скоростей и траекторий полёта космических аппаратов требует учёта изменения силы тяжести с высотой.
• Авиация: Полёты на больших высотах также требуют корректировок в связи с изменением силы тяжести.
• Геофизика: Измерения ускорения свободного падения используются для изучения внутренних структур планет.

Зависимость силы тяжести от высоты является важным фактором в физике и инженерии. Знание того, как изменяется ускорение свободного падения с высотой, позволяет точно рассчитывать движения объектов и обеспечивает безопасность и эффективность в различных областях, включая космические и авиационные технологии.