Елисеев — призёр чемпионатов мира среди юниоров по биатлону (2014) и летнему биатлону (2014, завоевал бронзовую медаль в гонке преследования)[5][6][7].
На уровне взрослых неоднократно становился призёром этапов кубка IBU[8][9]. В марте 2015 года впервые одержал победу на этапе Кубка IBU, проходившем в канадском Кэнморе, выиграв индивидуальную гонку[10]. В общем зачёте Кубка IBU 2014/15 занял девятое место.
7 февраля 2015 года дебютировал с составе сборной России в спринтерской гонке на этапе Кубка мира в Нове-Место в Чехии (17-е место)[11].
9 декабря 2016 года в спринте в Поклюке впервые попал в 10-ку лучших на этапе Кубка мира (10-е место). На следующий день, 10 декабря, в гонке преследования занял 7-е место. 11 декабря 2016 года дебютировал в составе эстафетной команды. 18 декабря 2016 года в масс-старте Нове-Место финишировал 6-м.
1 декабря 2019 года на этапе Кубка мира в Эстерсунде в спринтерской гонке занял третье место, отстрелявшись на ноль и уступив только братьям Бё из Норвегии. Для 26-летнего Елисеева это стало первым в карьере личным подиумом на этапах Кубка мира. Также в сезоне 2019/20 дважды занимал 4-е место в спринте в Оберхофе и Хохфильцене.
В декабре 2021 года Елисеев приостановил карьеру из-за проблем со здоровьем и пропустил зимние Олимпийские игры 2022 года в Пекине[12][13]. После этого он выступал на внутрироссийских соревнованиях[14]. 16 февраля 2024 года на Всероссийской спартакиаде в Златоусте биатлонист объявил о завершении спортивной карьеры, проведя свою последнюю гонку 18 февраля[3][15].