Праймориальное простое

В теории чисел праймориальным простым числом называется простое число вида p_n# ± 1, где p_n# — праймориал p_n (то есть произведение первых n простых чисел). Числа вида p_n# + 1 (не обязательно простые) называются числами Евклида.

Тесты простоты показывают, что

p_n# − 1 является простым для n = 2, 3, 5, 6, 13, 24, … последовательность A057704 в OEIS

p_n# + 1 является простым для n = 1, 2, 3, 4, 5, 11, … последовательность A014545 в OEIS

Несколько первых праймориальных простых

3, 5, 7, 29, 31, 211, 2309, 2311, 30 029, 200 560 490 131, 304 250 263 527 209

Несколько первых чисел Евклида

3, 7, 31, 211, 2311, 30 031, 510 511 последовательность A006862 в OEIS.

К сентябрю 2022 года максимальным известным праймориальным простым числом вида "pn# − 1" было число 3267113# - 1 с 1418398 знаками, число было найдено в проекте распределенных вычислений PrimeGrid в 2021 году, максимальным известным праймориальным простым числом вида "pn# + 1" является число 392113# + 1 с 169966 знаками, оно было найдено в 2001 году^[1].

Широко распространено мнение, что идея праймориальных простых принадлежит Евклиду и появилась в его доказательстве бесконечности числа простых чисел: Предположим, что существует только n простых чисел, тогда число p_n# + 1 взаимно просто с ними, а значит либо оно является простым, либо существует ещё одно простое число.

Нерешённые проблемы математики: Бесконечно ли количество простых чисел Евклида?

Открытой проблемой остаётся, конечно или бесконечно количество праймориальных простых чисел (и, в частности, простых чисел Евклида).

Число Евклида E₆ = 13# + 1 = 30031 = 59 x 509 составное, что демонстрирует, что не все числа Евклида — простые.

Числа Евклида не могут быть квадратными, поскольку они всегда сравнимы с 3 mod 4.

Для всех n ≥ 3 последний знак E_n равен 1, поскольку E_n − 1 делится на 2 и 5.