Дифракционная решётка (ЕГЭ-ОГЭ)

Дифракцио́нная решётка — оптический прибор, действие которого основано на использовании явления дифракции света. Он позволяет раскладывать свет на спектральные составляющие и измерять длины волн. Дифракционные решётки бывают прозрачными (когда свет проходит через них) и отражательными (когда свет от них отражается)^[1].

Одномерная прозрачная дифракционная решётка представляет собой совокупность большого числа одинаковых по ширине и параллельных друг другу щелей, разделённых непрозрачными промежутками. Обычно изготавливается пу­тем нанесения параллельных штрихов на поверхность стекла с помощью делительных машин; такие штрихи являются непрозрачными промежутками, а неповреждённые части стеклянной пластинки - пропускающими свет щелями. Отражательные решётки обычно изготавливаются при помощи нанесения штрихов на поверхность металлического зеркала.

Расстояние, через которое повторяются щели на решётке, называют периодом дифракционной решётки или постоянной дифракционной решётки. Обозначают буквой ${\displaystyle d}$.

Щель вместе с находящимся рядом с ней непрозрачным промежутком называется элементом решётки. Его размер равен периоду решётки.

Если известно число щелей (${\displaystyle N}$), приходящихся на 1 мм решётки, то период решётки находят по формуле: ${\displaystyle d=1/N}$ мм.

Пусть на решётку перпендикулярно к ней падает плоская монохроматическая волна (например, такой свет даёт лазерная указка). Если поместить за дифракционной решёткой экран, на нём будут видны периодически расположенные параллельные полосы. Это интерференционная картина.

Дифракционная решётка расщепляет падающую волну на множество параллельных когерентных пучков, которые интерферируют друг с другом, что и даёт интерференционную картину — чередование минимумов и максимумов интерференции, то есть тёмных и светлых полос.

Пусть период решётки составляет ${\displaystyle d}$, а длина падающей волны — ${\displaystyle \lambda }$. Для большей чёткости интерференционной картины можно поставить линзу между решёткой и экраном, а экран поместить в фокальной плоскости линзы. Тогда вторичные волны, идущие параллельно от различных щелей, соберутся в одной точке экрана (побочном фокусе линзы). Если же экран расположен достаточно далеко, то особой необходимости в линзе нет - лучи, приходящие в данную точку экрана от различных щелей, будут в любом случае почти параллельны друг другу.

Разность хода между двумя волнами, идущих от соседних щелей, равна ${\displaystyle d\sin \varphi }$. Интерференционные максимумы будут наблюдаться тогда, когда разность составляет целое число волн: ${\displaystyle d\sin \varphi =m\lambda }$, где ${\displaystyle m}$ — любое неотрицательное целое число. При выполнении этого условия все волны от разных щелей будут складываться в фазе и усиливать друг друга.

Таким образом, можно найти углы ${\displaystyle \phi }$, задающие направление на максимум: ${\displaystyle \varphi _{m}=\arcsin {\frac {m\lambda }{d}}}$. При ${\displaystyle m=0}$ получается ${\displaystyle \varphi =0}$. Это центральный максимум, или максимум нулевого порядка. Это самый яркий из максимумов, дифракционная картина симметрична относительно него.

Поскольку синус не может быть больше единицы, поэтому ${\displaystyle m\leq {\frac {\lambda }{d}}}$.

С помощью дифракционной решётки можно измерить неизвестную длину волны: если направить пучок света на решётку с известным периодом решётки, и измерить угол ${\displaystyle \varphi _{1}}$ на максимум первого порядка, то длина волны получится ${\displaystyle \lambda =d\sin \varphi _{1}}$

Мы рассмотрели дифракцию монохроматического света. Обычно свет является смесью различных монохроматических волн, которые составляют спектр данного излучения.

Оптический прибор называется спектральным, если он позволяет раскладывать свет на монохроматические компоненты и тем самым исследовать спектральный состав излучения. Простейший спектральный прибор — это стеклянная призма. К числу спектральных приборов относится также и дифракционная решётка.

Положение центрального максимума не зависит от длины волны. В центре дифракционной картины сойдутся с нулевой разностью хода все монохроматические составляющие падающего света. Поэтому в центральном максимуме будет видна яркая полоса того же цвета, что и падающий свет.

А вот положения максимумов порядка ${\displaystyle m\geq 1}$ определяются длиной волны. Чем меньше ${\displaystyle \lambda }$, тем меньше угол ${\displaystyle \varphi _{m}}$ для данного ${\displaystyle k}$. Поэтому в максимуме ${\displaystyle m}$-го порядка монохроматические волны разделяются в пространстве: самой близкой к к центральному максимуму окажется фиолетовая полоса, самой далёкой — красная. Таким образом, в каждом порядке ${\displaystyle m\geq 1}$ свет раскладывается решёткой в спектр.

Максимумы первого порядка всех монохроматических компонент образуют спектр первого порядка; затем идут спектры второго, третьего и так далее порядков. Спектр каждого порядка имеет вид цветной полосы, в которой присутствуют все входящие в состав луча цвета.

Угловой дисперсией называется величина ${\displaystyle D={\frac {\delta \varphi }{\delta \lambda }}}$, где ${\displaystyle \delta \varphi }$ — угловое расстояние между близкими спектральными линиями, ${\displaystyle \delta \lambda }$ — разность их длин волн.

Найдем угловую дисперсию дифракционной решетки. Воспользуемся условием главных максимумов, найденное нами ранее: ${\displaystyle d\sin \varphi =m\lambda }$.

Продифференцировав обе части этого выражения по длине волны и используя выражение для ${\displaystyle D}$, получим: угловая дисперсия ${\displaystyle D={\frac {m}{d\cos \varphi }}}$.

Чем меньше период решётки, тем больше её угловая дисперсия и тем выше качество спектра.

Возможность раздельного восприятия двух близких спектральных линий зависит не только от углового расстояния между ними, но и от ширины спектрального максимума. Согласно критерию Релея спектральные линии считаются полностью разделёнными (разрешёнными), если середина одного максимума совпадает с краем другого.

Разрешающей способностью спектрального прибора называют безразмерную величину: ${\displaystyle R={\frac {\lambda }{\delta \lambda }}}$, где ${\displaystyle \lambda }$ — средняя длина волны двух спектральных линий, удовлетворяющих критерию Релея, а ${\displaystyle \delta \lambda }$ — разность их длин волн.

Для дифракционной решетки разрешающая способность равна: ${\displaystyle R=mN}$.

При нормальном падении плоской волны условия интерференционных максимумов дифракционной решётки, наблюдаемых под определёнными углами, имеют вид:

${\displaystyle d\,\sin \theta _{m}=m\lambda }$

где

${\displaystyle d}$ — период решётки,

${\displaystyle \theta _{m}}$ — угол максимума данного цвета,

${\displaystyle m}$ — порядок максимума, то есть порядковый номер максимума, отсчитанный от центра картинки,

${\displaystyle \lambda }$ — длина волны.

Одним из самых распространённых в быту примеров отражательных дифракционных решёток является компакт-диск. На поверхности компакт-диска — дорожка в виде спирали с шагом 1,6 мкм между витками. Примерно треть ширины (0,5 мкм) этой дорожки занята углублением (это записанные данные), рассеивающим падающий на него свет, примерно две трети (1,1 мкм) — нетронутая подложка, отражающая свет.

Естественными природными объектами, очень близкими к дифракционным решёткам являются перья птиц, крылья бабочек, перламутровая поверхность морской раковины и даже человеческие ресницы.