Движение тела, брошенного под углом к горизонту

Движе́ние те́ла, бро́шенного под угло́м α к горизо́нту — это движение тела, которое запускают с начальной скоростью ${\displaystyle v_{0}}$ под углом ${\displaystyle \alpha }$ к горизонтальной поверхности. Тело движется в вертикальной плоскости, а его траектория описывается параболой при отсутствии сопротивления воздуха.

Движение тела можно рассматривать как сочетание двух независимых движений:

1. Горизонтальное движение — равномерное прямолинейное движение с постоянной скоростью по оси ${\displaystyle x}$.

2. Вертикальное движение — равноускоренное движение по оси ${\displaystyle y}$ под действием силы тяжести с ускорением ${\displaystyle g}$, направленным вниз.

Эти движения происходят одновременно и не влияют друг на друга.

• • Горизонтальная составляющая:

— Скорость: ${\displaystyle v_{x}=v_{0}\cos \alpha }$ (постоянна)

— Координата: ${\displaystyle x(t)=v_{0}\cos \alpha \cdot t.}$

• • Вертикальная составляющая:

— Скорость: ${\displaystyle v_{y}=v_{0}\sin \alpha -gt,}$

— Координата: ${\displaystyle y(t)=v_{0}\sin \alpha \cdot t-{\dfrac {gt^{2}}{2}}.}$

• • Траектория движения:

Исключая время ${\displaystyle t}$, получаем уравнение траектории:

${\displaystyle y(x)=x\operatorname {tg} \alpha -{\dfrac {gx^{2}}{2v_{0}^{2}\cos ^{2}\alpha }}.}$

Это уравнение описывает параболу.

• • Максимальная высота подъёма (${\displaystyle H}$):

${\displaystyle H={\dfrac {(v_{0}\sin \alpha )^{2}}{2g}}.}$

• • Время подъёма до максимальной высоты (${\displaystyle t_{1}}$):

${\displaystyle t_{1}={\dfrac {v_{0}\sin \alpha }{g}}.}$

• • Полное время полёта (${\displaystyle T}$):

${\displaystyle T={\dfrac {2v_{0}\sin \alpha }{g}}.}$

• • Дальность полёта (${\displaystyle R}$):

${\displaystyle R=v_{0}\cos \alpha \cdot T={\dfrac {v_{0}^{2}\sin 2\alpha }{g}}.}$

— Максимальная дальность достигается при угле бросания ${\displaystyle \alpha =45^{\circ }}$;

— Симметрия траектории: подъём и спуск занимают равное время, траектория симметрична относительно вершины;

— Постоянство горизонтальной скорости**: ${\displaystyle v_{x}}$ не изменяется в течение всего полёта;

— Изменение вертикальной скорости: ${\displaystyle v_{y}}$ уменьшается до нуля при подъёме и увеличивается в отрицательном направлении при спуске.

— Спорт: анализ траекторий мячей в игровых видах спорта;

— Баллистика: расчёт траекторий снарядов и ракетоносителей;

— Инженерия: проектирование полёта объектов в гравитационном поле Земли.

Движение тела, брошенного под углом к горизонту, является примечательным примером применения законов кинематики и динамики. Понимание этого движения позволяет прогнозировать поведение тел в поле тяжести и имеет широкое практическое значение в различных областях науки и техники.