Вычисление работы по графику процесса на pV-диаграмме

Вычисле́ние рабо́ты по гра́фику проце́сса на pV-диагра́мме

В термодинамике работа газа при изменении его состояния может быть вычислена по графику процесса на pV-диаграмме (давление p в зависимости от объёма V). Работа равна площади под кривой процесса на этой диаграмме.

• Термодинамическая работа — это энергия, которую система передаёт внешней среде или получает от неё при изменении объёма:

 ${\displaystyle A=\int _{V_{1}}^{V_{2}}p\,dV}$,
 где A — работа, p — давление, ${\displaystyle V_{1}}$ и ${\displaystyle V_{2}}$ — начальный и конечный объёмы.

• pV-диаграмма — графическое представление термодинамического процесса, где по оси абсцисс откладывается объём V, а по оси ординат — давление p.

• Изопроцессы — термодинамические процессы, в которых один из параметров состояния остаётся постоянным:

 - Изобарный процесс (p = const): давление постоянное, объём меняется.
 - Изохорный процесс (V = const): объём постоянный, давление меняется.
 - Изотермический процесс (T = const): температура постоянная, давление и объём меняются.
 - Адиабатный процесс: отсутствует теплообмен с окружающей средой.

• Изобарный процесс (p = const):

 Работа вычисляется как:
 ${\displaystyle A=p(V_{2}-V_{1})}$.

• Изотермический процесс (T = const) для идеального газа:

 Работа определяется по формуле:
 ${\displaystyle A=nRT\ln \left({\dfrac {V_{2}}{V_{1}}}\right)}$,
 где n — количество молей газа, R — универсальная газовая постоянная, T — температура.

• Изохорный процесс (V = const):

 Работа равна нулю, так как объём не изменяется:
 ${\displaystyle A=0}$.

• Адиабатный процесс:

 Работа вычисляется с использованием показателя адиабаты ${\displaystyle \gamma }$:
 ${\displaystyle A={\dfrac {p_{1}V_{1}-p_{2}V_{2}}{\gamma -1}}}$.

На pV-диаграмме работа газа при переходе из состояния 1 в состояние 2 равна площади под кривой p(V) между объёмами ${\displaystyle V_{1}}$ и ${\displaystyle V_{2}}$.

• Если процесс идёт слева направо (${\displaystyle V}$ увеличивается), работа положительна — газ совершает работу.
• Если процесс идёт справа налево (${\displaystyle V}$ уменьшается), работа отрицательна — над газом совершается работа.

В циклических процессах система после ряда трансформаций возвращается в исходное состояние. Работа за один цикл равна площади замкнутой фигуры на pV-диаграмме.

• При обходе контура по часовой стрелке работа положительна — система отдаёт энергию.
• При обходе против часовой стрелки работа отрицательна — система получает энергию.

• • Пример 1: Изобарное расширение газа

Идеальный газ изобарно расширяется от объёма ${\displaystyle V_{1}}$=1 м³ до ${\displaystyle V_{2}}$=3 м³ при давлении p = 100 kPa. Вычислить работу газа.

Решение:

Используем формулу для изобарного процесса: ${\displaystyle A=p(V_{2}-V_{1})}$

Подставляем значения: ${\displaystyle A=100\,000\,{\text{Pa}}\times (3\,{\text{м}}^{3}-1\,{\text{м}}^{3})=100\,000\,{\text{Pa}}\times 2\,{\text{м}}^{3}=200\,000\,{\text{Дж}}}$

• • Ответ: Работа газа равна 200 000 Дж.

• • Пример 2: Изотермическое сжатие газа

1 моль идеального газа изотермически сжимается от объёма V_1 = 10\,\text{л} до V_2 = 5\,\text{л} при температуре T = 300\,\text{K}. Вычислить совершённую работу.

• • Решение:

Используем формулу для изотермического процесса: ${\displaystyle A=nRT\ln \left({\dfrac {V_{2}}{V_{1}}}\right)}$

Учитывая, что R = 8,31 Дж/(моль·К), подставляем значения: ${\displaystyle A=1\,{\text{моль}}\times 8{,}31\,{\text{Дж/(моль·К)}}\times 300\,{\text{К}}\times \ln \left({\dfrac {5\,{\text{л}}}{10\,{\text{л}}}}\right)}$

Вычисляем: ${\displaystyle A=2493\,{\text{Дж}}\times \ln \left(0{,}5\right)=-1729\,{\text{Дж}}}$

• • Ответ: Над газом совершена работа в 1729 Дж (работа отрицательна).

Вычисление работы по графику процесса на pV-диаграмме является фундаментальным методом в термодинамике. Понимание взаимосвязи между давлением, объёмом и температурой позволяет анализировать и рассчитывать энергообмен в газовых системах. Знание того, как определить работу через площадь под кривой на pV-диаграмме, важно для изучения эффективности тепловых машин и процессов в физике и инженерии.