Вычисление перемещения и пути материальной точки при прямолинейном движении вдоль оси x по графику зависимости vx(t)

Вычисле́ние перемеще́ния и пути́ материа́льной то́чки при прямолине́йном движе́нии вдоль оси́ x по гра́фику зави́симости v(t)

Прямолинейное движение вдоль оси x — это движение материальной точки, при котором её траектория совпадает с осью x. Положение точки в любой момент времени характеризуется координатой ${\displaystyle x(t)}$, а движение происходит исключительно в направлении оси ${\displaystyle x}$.

Скорость — это первая производная координаты по времени, запишем её как ${\displaystyle v(t)}$. Тогда проекция скорости (${\displaystyle v_{x}(t)}$) на ось ${\displaystyle x}$ будет равна:

${\displaystyle v_{x}(t)={\dfrac {dx}{dt}}}$.

Перемещение ${\displaystyle \Delta x}$ — это изменение координаты материальной точки за определённый промежуток времени:

${\displaystyle \Delta x=x(t_{2})-x(t_{1})}$.

Перемещение материальной точки вдоль оси ${\displaystyle x}$ можно найти, проинтегрировав скорость по времени во временном промежутке ${\displaystyle t_{2}-t_{1}}$:

${\displaystyle \Delta x=\int _{t_{1}}^{t_{2}}v_{x}(t)\,dt}$.

При известной зависимости проекции скорости ${\displaystyle v_{x}(t)}$ на ось ${\displaystyle x}$ от времени ${\displaystyle t}$ перемещение материальной точки можно определить графическим способом. Перемещение равно алгебраической площади под графиком скорости во временном промежутке ${\displaystyle t_{2}-t_{1}}$:

${\displaystyle \Delta x=\int _{t_{1}}^{t_{2}}v_{x}(t)\,dt}$.

Если скорость положительна (${\displaystyle v_{x}(t)>0}$), площадь под графиком берётся со знаком «плюс», если отрицательна (${\displaystyle v_{x}(t)<0}$), то со знаком «минус».

Путь ${\displaystyle l}$ — это общая длина траектории, пройденная материальной точкой за время движения. При прямолинейном движении вдоль оси ${\displaystyle x}$ путь вычисляется как интеграл модуля скорости:

${\displaystyle l=\int _{t_{1}}^{t_{2}}|v_{x}(t)|\,dt}$.

Путь всегда является положительной величиной и равен сумме модулей площадей под графиком ${\displaystyle v_{x}(t)}$.

Рассмотрим материальную точку, движущуюся с постоянным ускорением ${\displaystyle a}$ и начальной скоростью ${\displaystyle v_{0}}$. Скорость зависит от времени по закону:

${\displaystyle v_{x}(t)=v_{0}+at}$.

Вычисление перемещения:

${\displaystyle \Delta x=\int _{t_{1}}^{t_{2}}v_{x}(t)\,dt=\int _{t_{1}}^{t_{2}}(v_{0}+at)\,dt=\left[v_{0}t+{\dfrac {1}{2}}at^{2}\right]_{t_{1}}^{t_{2}}}$,

${\displaystyle \Delta x=\left(v_{0}t_{2}+{\dfrac {1}{2}}at_{2}^{2}\right)-\left(v_{0}t_{1}+{\dfrac {1}{2}}at_{1}^{2}\right)}$.

Вычисление пути:

Если скорость не меняет знак на интервале ${\displaystyle [t_{2},\,t_{1}]}$, то путь совпадает с модулем перемещения:

${\displaystyle l=|\Delta x|}$.

Если же скорость меняет знак, необходимо разбить интеграл на участки с постоянным знаком скорости и вычислить путь на каждом участке отдельно:

${\displaystyle l=\int _{t_{1}}^{t_{c}}|v_{x}(t)|\,dt+\int _{t_{c}}^{t_{2}}|v_{x}(t)|\,dt}$,

где ${\displaystyle t_{c}}$ — момент времени, когда ${\displaystyle v_{x}(t_{c})=0}$.

На графике скорости ${\displaystyle v_{x}(t)}$ перемещение соответствует алгебраической сумме площадей под графиком, а путь — сумме модулей этих площадей. Области под осью времени (где ${\displaystyle v_{x}(t)<0}$) учитываются как отрицательные для перемещения, так и положительные при вычислении пути.

Зная график зависимости ${\displaystyle v_{x}(t)}$, можно:

• Определить моменты времени, когда скорость меняет направление (vₓ(t) = 0);
• Вычислить общее перемещение и путь за заданный интервал времени;
• Проанализировать поведение движения точки и определить ускорение как производную скорости:

${\displaystyle a={\dfrac {dv_{x}}{dt}}}$.

Вычисление перемещения и пути по графику ${\displaystyle v_{x}(t)}$ — ключевой навык в кинематике прямолинейного движения. Понимание связи между скоростью, перемещением и путём позволяет анализировать движение материальной точки и решать практические задачи, связанные с движением объектов вдоль прямой линии.