Вычисление коэффициента корреляции двух рядов данных

• Коэффициент корреляции Пирсона — мера линейной зависимости между двумя количественными переменными.
• Взаимная корреляция — функция, измеряющая сходство между двумя рядами данных при разных сдвигах одного ряда относительно другого.
• Автокорреляция — корреляция ряда с самим собой при различных сдвигах, используется для выявления периодичности в данных.

Коэффициент корреляции Пирсона между двумя переменными \(X \) и \(Y \) вычисляется по формуле:

${\displaystyle r={\dfrac {\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\overline {X}})(Y_{i}-{\overline {Y}})}{{\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\overline {X}})^{2}}}{\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(Y_{i}-{\overline {Y}})^{2}}}}}}$

где:

— \(X_i \) и \(Y_i \) — значения переменных;

— \(\overline{X} \) и \(\overline{Y} \) — средние значения переменных;

— \(n \) — количество наблюдений.

Взаимнокорреляционная функция двух дискретных последовательностей \(f \) и \(g \) определяется как:

${\displaystyle (f\star g)_{i}=\sum _{j}f_{j}^{*}\,g_{i+j}}$

где:

— \((f \star g)_i \) — значение взаимной корреляции при сдвиге \(i \);

— \(f^*_j \) — комплексно сопряжённое значение \(f_j \);

— \(g_{i+j} \) — элемент последовательности \(g \) со сдвигом \(i \).

Для непрерывных функций \(f(t) \) и \(g(t) \) взаимная корреляция определяется как:

${\displaystyle (f\star g)(t)=\int _{-\infty }^{\infty }f^{*}(\tau )\,g(t+\tau )\,d\tau }$

• Связь со свёрткой: Взаимная корреляция связана со свёрткой:

 ${\displaystyle f(t)\star g(t)=f^{*}(-t)*g(t)}$

 где \( * \) обозначает свёртку функций.

• Свойства преобразования Фурье:

 ${\displaystyle {\mathcal {F}}[f\star g]={\mathcal {F}}[f]^{*}\cdot {\mathcal {F}}[g]}$

 где \( \mathcal{F} \) — преобразование Фурье, а \( ^* \) — комплексное сопряжение.

• Статистический анализ: Оценка степени зависимости между переменными в выборке данных.
• Обработка сигналов: Поиск определённых сигналов в шумовых данных, например, в радиолокации или сонарных системах.
• Распознавание образов: Сравнение изображений или сигналов для выявления сходства или отличий.

Рассмотрим два набора данных:

— \(X \): 2, 4, 6, 8, 10

— \(Y \): 1, 3, 5, 7, 9

Вычислим средние значения:

${\displaystyle {\overline {X}}={\dfrac {2+4+6+8+10}{5}}=6}$

${\displaystyle {\overline {Y}}={\dfrac {1+3+5+7+9}{5}}=5}$

Вычислим числитель и знаменатель формулы коэффициента корреляции:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{5}(X_{i}-{\overline {X}})(Y_{i}-{\overline {Y}})=(2-6)(1-5)+\ldots +(10-6)(9-5)=40}$

${\displaystyle {\sqrt {\sum _{i=1}^{5}(X_{i}-{\overline {X}})^{2}}}={\sqrt {(2-6)^{2}+\ldots +(10-6)^{2}}}={\sqrt {40}}}$

${\displaystyle {\sqrt {\sum _{i=1}^{5}(Y_{i}-{\overline {Y}})^{2}}}={\sqrt {(1-5)^{2}+\ldots +(9-5)^{2}}}={\sqrt {40}}}$

Коэффициент корреляции:

${\displaystyle r={\dfrac {40}{{\sqrt {40}}\times {\sqrt {40}}}}={\dfrac {40}{40}}=1}$

Значение \(r = 1 \) указывает на полную положительную линейную зависимость между \(X \) и \(Y \).

Вычисление коэффициента корреляции является важным инструментом в математике и статистике для оценки степени зависимости между двумя рядами данных. Понимание и применение этого понятия позволяет анализировать и интерпретировать взаимосвязи в различных областях науки и техники, от обработки сигналов до экономических исследований.