Высказывательные формы (предикаты)

• Логическое высказывание — это утверждение, которое может быть либо истинным, либо ложным.
• Высказывательная форма — логическое высказывание, в котором есть по меньшей мере одна переменная.

Предикаты обозначаются ${\displaystyle P(N)}$, где ${\displaystyle N}$ — переменная. Если задают конкретные значения переменных, предикаты становятся логическими высказываниями.

Предикат, зависящий только от одной переменной — это предикат-свойство. Так как переменная одна, то предикат называют одноместным.

Например: Простое ${\displaystyle (x)}$ — «${\displaystyle x}$ — простое число».

Предикат может зависеть от нескольких переменных. В этом случае он определяет связь между объектами — это предикат-отношение. В зависимости от количества переменных его называют двуместный, трёхместный и т. д.

Например:

• P (x, y): «прямая x параллельна прямой y»
• R (x, y): «x находится левее y»
• S (x, y): «город x расположен ближе к Москве, чем город y»/

Существуют предикаты, которые справедливы для всех допустимых значений переменных.

Например, это предикат ${\displaystyle P(x)=(x^{2}\geqslant 0)}$, определённый на множестве всех вещественных чисел.

Множество значений переменных, при которых предикат становится логическим высказыванием, то есть можно определить истинно оно или ложно. Обозначается ${\displaystyle (U)}$.

Множество значений переменных, при которых предикат становится истинным высказыванием. Обозначается ${\displaystyle (I)}$.

Два предиката называются эквивалентными (равносильными), если они определены на одном и том же множестве и их множества истинности совпадают.

Предикаты используют для того, чтобы задать множество, не перечисляя все его элементы. Например, множество положительных чисел может быть задано предикатом, который принимает истинное значение для положительных чисел и ложное для остальных: ${\displaystyle P(x)=(x>0)}$.

Предикаты могут принимать два значения — истина или ложь, поэтому к ним применимы все операции логики высказываний. Результатом этих операций также является предикат.