Всестороннее сжатие

Всестороннее сжатие — подвид деформации сжатия (растяжения), в котором на твёрдое тело действует внешнее давление по всей площади поверхности этого тела, приводящее к изменению (уменьшению или увеличению) его объёма. Деформация растяжения и сжатия описывается практически одним и тем же математическим аппаратом, трудности в аналитических расчётах возникают только для тел сложной формы. Для таких тел, как правило, проводятся экспериментальные испытания с помощью специальный рычаговых механизмов или гидравлических прессов^[2].

Для простоты рассмотрим всестороннее сжатие куба. Расположим начало декартовой системы координат в геометрический центр куба так, чтобы оси системы координат были перпендикулярны граням куба. Относительная деформация грани куба вдоль оси будет равна:

${\displaystyle {\frac {\Delta x_{x}}{x}},}$ (1)

при действующем на неё напряжении ${\displaystyle \sigma _{x}}$:

${\displaystyle \sigma _{x}=-E{\frac {\Delta x_{x}}{x}},}$ (2)

где ${\displaystyle E}$ — модуль упругости первого рода, а знак «-» означает, что происходит уменьшение размера куба.

Согласно принципу суперпозиции, результирующая деформация равна сумме деформаций, возникающих под действием напряжений ${\displaystyle \sigma }$ на гранях куба вдоль осей координат ${\displaystyle ox}$, ${\displaystyle oy}$ и ${\displaystyle oz}$. Таким образом, относительная деформация вдоль оси ${\displaystyle ox}$ равна:

${\displaystyle {\frac {\Delta x}{x}}={\frac {\Delta x_{x}}{x}}+{\frac {\Delta x_{y}}{x}}+{\frac {\Delta x_{z}}{x}}=-{\frac {\sigma }{E}}(1-2\mu ),}$ (3)

где ${\displaystyle \mu }$ — коэффициент Пуассона, определяемый как отношение поперечного удлинения ${\displaystyle \epsilon _{\perp }}$ к относительному ${\displaystyle \epsilon }$:

${\displaystyle \mu =-{\frac {\epsilon _{\perp }}{\epsilon }}}$. (4)

В случае сжатия коэффициент Пуассона меньше нуля, при растяжении — больше.

Аналогичным образом находят остальные относительные деформации вдоль других осей координат. В результате получим:

${\displaystyle \sigma =-{\frac {E}{3(1-2\mu )}}\cdot {\frac {\Delta V}{V}}=-K\cdot {\frac {\Delta V}{V}},}$ (5)

где ${\displaystyle K}$ — модуль объёмной деформации, равный:

${\displaystyle K={\frac {E}{3(1-2\mu )}}.}$ (6)

В случае объёмного растяжения куба формула (5) преобразуется в

${\displaystyle \sigma ={\frac {E}{3(1-2\mu )}}\cdot {\frac {\Delta V}{V}}=K\cdot {\frac {\Delta V}{V}}.}$ (7)