Вложение Куратовского

Пусть ${\displaystyle X}$ есть метрическое пространство и ${\displaystyle p\in X}$. Обозначим через ${\displaystyle dist_{x}:X\to \mathbb {R} }$ функцию расстояния от ${\displaystyle x}$ в ${\displaystyle X}$. Обозначим через ${\displaystyle C_{b}(X)}$ банахово пространство ограниченных непрерывных функций и нормой супремума, тогда изометрическое вложение

${\displaystyle \Phi _{p}:X\to C_{b}(X)}$

определённое как

${\displaystyle \Phi _{p}(x)=dist_{x}-dist_{p}}$

называется вложением Куратовского.

• В случае если ${\displaystyle X}$ имеет конечный диаметр, отображение ${\displaystyle \Phi _{p}:X\to C_{b}(X)}$,

  ${\displaystyle \Phi (x)=dist_{x}}$

также называется вложением Куратовского.

Отображение впервые рассмотрено Куратовским в 1935 году^[1], однако практически такое же вложение с незначительной вариацией фигурировало в статье Фреше 1906 года^[2], где он впервые ввёл понятие метрического пространства.

• Аналог вложения Куратовского даёт возможность рассматривать все компактные метрические пространства как подмножества одного универсального пространства. Этот факт используется в одном из определений сходимости по Громову — Хаусдорфу.