Весовая матрица графа

• Порядок матрицы n — размерность квадратной матрицы n \times n.
• Вес матрицы w — число, определяющее условие ортогональности строк и столбцов матрицы.
• Элементы матрицы: 0, 1 или −1.
• Ортогональность: строки и столбцы весовой матрицы попарно ортогональны, то есть скалярное произведение любых двух различных строк (или столбцов) равно нулю.

• Ортогональность строк и столбцов: ${\displaystyle WW^{T}=wI_{n}}$.
• Количество ненулевых элементов: каждая строка и каждый столбец содержат ровно w ненулевых элементов.
• Обратимость матрицы: если вес w не равен нулю, то матрица W обратима, и ${\displaystyle W^{-1}={\dfrac {1}{w}}W^{T}}$.
• Определитель матрицы: ${\displaystyle \det(W)=\pm w^{n/2}}$, где ${\displaystyle \det(W)}$ — определитель матрицы W.

1. 1. 1. Весовая матрица порядка 2 с весом 2 (${\displaystyle W(2,2)}$)

${\displaystyle W_{2}={\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}}}$

1. 1. 1. Весовая матрица порядка 7 с весом 4 (${\displaystyle W(7,4)}$)

${\displaystyle W_{7}={\begin{pmatrix}1&1&1&1&0&0&0\\1&-1&0&0&1&1&0\\1&0&-1&0&-1&0&1\\1&0&0&-1&0&-1&-1\\0&1&-1&0&0&1&-1\\0&1&0&-1&1&0&1\\0&0&1&-1&-1&1&0\end{pmatrix}}}$

• Примечание: в записях матриц символ − обозначает число −1.

• Матрицы Адамара: весовые матрицы с весом w = n являются матрицами Адамара.
• Конференц-матрицы: весовые матрицы с весом w = n - 1 эквивалентны конференц-матрицам.
• Ортогональные матрицы: весовые матрицы являются частным случаем ортогональных матриц с особыми значениями элементов.

• Существование весовых матриц: для каких значений n и w существуют матрицы W(n,w)? Этот вопрос остаётся нерешённым для многих сочетаний параметров.
• Количество различных матриц: сколько существует различных (с точностью до эквивалентности) весовых матриц заданного порядка и веса?
• Классификация: полная классификация весовых матриц известна только для случаев, когда w \leq 5 или n \leq 15. Для больших значений эта задача остаётся сложной.

Весовые матрицы являются важным объектом в комбинаторике и теории матриц, имея приложения в дизайне экспериментов, кодировании и других областях математики и инженерии. Несмотря на простоту определения, многие вопросы, связанные с их существованием и классификацией, остаются открытыми, что делает их актуальной областью исследований.