Верхняя и нижняя границы

Пусть дано множество A:

${\displaystyle A=\{a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l\}}$

Для множества A задана бинарная операция ${\displaystyle \precsim }$ между его элементами, которую обозначают как ${\displaystyle (A,\precsim )}$. Для элементов x и y из A отношение записывается так:

${\displaystyle x\precsim y}$

что читается как: x предшествует y.

Если отношение ${\displaystyle (A,\precsim )}$ обладает свойствами рефлексивности, антисимметричности и транзитивности, то ${\displaystyle (A,\precsim )}$ — частично упорядоченное множество.

Если выполняется:

${\displaystyle x\precsim y\quad \lor \quad y\precsim x}$

то элементы x и y называются сравнимыми.

Если же:

${\displaystyle x\not \precsim y\quad \land \quad y\not \precsim x}$

Супремум множества B — это наименьшая из его верхних границ, если она существует. Если, кроме того, супремум принадлежит B, то он называется максимальным элементом множества B.

1	2	3	4
верхние границы: i, j, k, l.	верхние границы: не существует	верхние границы: i, j, k, l.	верхние границы: i, j, k, l.
супремум: i.	супремум: не существует	супремум: i.	супремум: i.
максимум: i.	максимум: не существует	максимум: i.	максимум: i.
нижние границы: a.	нижние границы: a.	нижние границы: не существует	нижние границы: a, b, d, e.
инфимум: a	инфимум: a.	инфимум: не существует	инфимум: e.
минимум: не существует	минимум: не существует	минимум: не существует	минимум: e.

• Для интервала действительных чисел (0; 10]: числа 10 и 11 являются верхними границами. 10 — супремум интервала, и, поскольку он принадлежит интервалу, также является максимумом.
• ${\displaystyle [0,+\infty )}$ не имеет верхней границы в ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

В математике, в частности в теории порядка и теории множеств, нижняя граница или миноранта подмножества S частично упорядоченного множества P — это элемент множества P, который меньше либо равен любому элементу множества S.

Среди всех нижних границ множества S инфимум — это наибольшая из нижних границ, если она существует. Если, кроме того, инфимум принадлежит S, то он называется минимальным элементом множества S.

Пусть дано множество A:

${\displaystyle A=\{a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l\}}$

Для множества A задана бинарная операция ${\displaystyle \precsim }$ между его элементами, которую обозначают как ${\displaystyle (A,\precsim )}$. Для элементов x и y из A отношение записывается так:

${\displaystyle x\precsim y}$

что читается как: x предшествует y.

Если отношение ${\displaystyle (A,\precsim )}$ обладает свойствами рефлексивности, антисимметричности и транзитивности, то ${\displaystyle (A,\precsim )}$ — частично упорядоченное множество.

Если выполняется:

${\displaystyle x\precsim y\quad \lor \quad y\precsim x}$

то элементы x и y называются сравнимыми.

Если же:

${\displaystyle x\not \precsim y\quad \land \quad y\not \precsim x}$