Родился 14 октября 1941 года в Куйбышеве, в эвакуации, в семье Василия Сталина и Галины Бурдонской. При рождении получил фамилию Сталин, однако в школе и в училище носил фамилию Васильев[2][3], а в зрелом возрасте взял фамилию матери (см. также ниже ). Спустя 4 года после рождения сына Бурдонская ушла от мужа из-за его образа жизни — злоупотребления алкоголем, измен и скандалов. После этого Василий лишил Галину возможности общаться с Александром и его младшей сестрой Надеждой. К матери они вернулись лишь после смерти Сталина[4].
В 1951 году по настоянию отца Александр был зачислен в Калининское суворовское училище, проучился в нем 2 года. После седьмого класса в 1955 году поступил в Театральное художественно-техническое училище на театрального художника, параллельно участвует в самодеятельности в Доме пионеров, который располагался в Тихвинском переулке. После окончания ТХТУ в 1958 г. работает художником — бутафором в разных театрах Москвы. В 1966 году поступает в ГИТИС на режиссерское отделение курса Марии Кнебель. Также был принят на актёрский курс студии при театре «Современник» к Олегу Николаевичу Ефремову.
Первый из потомков Сталина опубликовал результаты исследования своей ДНК. мтДНК — J C16069T, T16126C, A16129G, T16187C, C16189T, T16223C, G16230A, T16278C, C16311T, C16519T[5].
Скончался в ночь на 24 мая 2017 года на 76-м году жизни от проблем с сердцем в одном из госпиталей Москвы. Прощание прошло 26 мая в ЦАТРА[6][7][8].
Тело было кремировано 26 мая в крематории Николо-Архангельского кладбища Москвы[9]. Похоронен на Ваганьковском кладбище Москвы, рядом с матерью.
Был женат на своей однокурснице Дале Тамулявичуте (1940—2006) — театральный режиссёр, заслуженный деятель искусств Литовской ССР, главный режиссёр Литовского Молодёжного театра[10]. Детей не имел. Впоследствии овдовел[11].
С И. В. Сталиным личных встреч не имел. По словам Бурдонского, он видел деда вблизи лишь в гробу и сменил фамилию для того, чтобы спокойно заниматься искусством.
Бурдонский считал И. В. Сталина «шекспировским характером, сочетающим величие и безумие». В молодости относился к деду резко отрицательно, но затем, по его словам, осознал роль Сталина как исторической личности, невзирая на тиранию и жестокость его правления.