Родился в 25 августа 1981 году в Москве. Отец — Иван Иванович, мать — Валентина Николаевна. Алексей второй ребёнок в семье, у него есть старший брат Сергей и младшие брат Андрей и сестра Юлия. Поначалу семья жила в коммунальной квартире на Арбате, впоследствии переехала в отдельную квартиру в районе «Спортивной». С трёх до шести лет Алексей серьёзно занимался гимнастикой, в дальнейшем учился в школе № 168 со спортивным уклоном, играл в футбол в дворовой команде на полях близлежащих Лужников, где его заметили тренеры ФШМ. Первым тренером Бугаева был Юрий Павлович Карнов[2].
Молодые футболисты ФШМ «Торпедо» 1981 года рождения выиграли первенство России в своём возрасте, Бугаев был признан лучшим защитником турнира, и его в числе других молодых игроков пригласили в дубль «Торпедо». Регулярно играя в течение двух последующих лет за «Торпедо»-2 во втором дивизионе под руководством тренера Сергея Петренко, Бугаев привлекался и к матчам основного состава чёрно-белых. Дебютировал в первой команде в мае 2001 года в матче против саратовского «Сокола», всего в том сезоне провёл два матча в высшем дивизионе, играл также за команду клуба в новообразованном турнире дублёров.
По ходу сезона 2001 года по приглашению Валерия Петракова перешёл в клуб «Томь», где провёл полтора сезона в первом дивизионе, был признан лучшим защитником команды, после чего вернулся в «Торпедо».
В конце 2004 года Бугаев заключил с «Локомотивом» трёхлетний контракт с возможностью продления ещё на год[4][5]. В составе «железнодорожников» футболист провёл сезон 2005 года, после чего вновь уехал в Томск. С 2006 года регулярно выступал за «Томь» в матчах российской премьер-лиги, в начале 2008 года подписал с клубом новый годичный контракт[6][7].
28 августа 2008 года подписал контракт с ФК «Химки» до конца сезона[8], но за подмосковный клуб так ни разу и не сыграл. Контракт продлён не был.
В июле 2009 года на правах свободного агента стал игроком ФК «Краснодар». В середине мая 2010 года контракт с Бугаевым был расторгнут по обоюдному согласию[9][10].
10 октября 2003 года Бугаев провёл первый и единственный матч за олимпийскую сборную России против Грузии (победа 3:2). Матч проходил в рамках отбора на чемпионат Европы среди молодёжных команд 2004 года, но ничего не решал для российской сборной.
Дебютировал за основную сборную России 25 мая 2004 года в товарищеском матче против Австрии (ничья 0:0). Сыграл два матча на чемпионате Европы против Португалии 16 июня (поражение 0:2) и Греции 20 июня (победа 2:1). Позже сыграл ещё три встречи в отборочном цикле к чемпионату мира 2006 года против Люксембурга 9 октября (победа 4:0), Португалии 13 октября (поражение 1:7) и Эстонии 17 ноября (победа 4:0). Последнюю игру провёл 9 февраля 2005 года против Италии (поражение 0:2).
В марте 2005 года Бугаев готовился в составе российской сборной к матчу против Лихтенштейна, будучи на сборах в швейцарском Абвтиле, однако за три дня до игры улетел в Москву по семейным обстоятельствам[11]. В дальнейшем в сборную не вызывался.
Антропометрические данные на момент подписания Бугаевым контракта с «Локомотивом» — рост 180 см, вес 74 кг[5].
Существует мнение, что талант футболиста в полной мере так и не раскрылся. Виной тому — проблемы с дисциплиной, связанные с чрезмерным употреблением алкоголя[13]. По словам бывшего футболиста «Торпедо» Дмитрия Бородина, иногда Бугаев «пропадал на неделю и его было не найти»[14].
28 октября 2023 года был задержан полицейскими в Краснодаре с неизвестным порошком, которое отправили на экспертизу. Эксперты установили, что данное вещество наркотического содержания (мефедрон). Бугаев был арестован на 7 суток за неповиновение сотрудникам полиции[15]. В отношении футболиста было возбуждено уголовное дело по статье 228.1 (производство и сбыт наркотиков)[16].
23 сентября 2024 года Прикубанский районный суд Краснодара признал Бугаева виновным по статье о незаконном производстве, сбыте или пересылке наркотических средств в особо крупном размере и приговорил его к 9,5 годам колонии строгого режима. Из приговора следует, что в октябре 2023 года Бугаев получил СМС-сообщение с координатами «закладки» и забрал из тайника наркотики массой 494,8 г, он приобрёл их с целью дальнейшего незаконного сбыта[17].