Окончил Эльгяйскую школу. В 1932 году окончил Вилюйский педагогическое училище им. Н. Г. Чернышевского. В сентябре 1932 года назначен старшим пионервожатым в Шеинскую школу Сунтарского района (ныне — улуса).
В 1935 году был переведён учителем биологии в школу села Тойбохой того же района. В этой школе Георгий Евдокимович Бессонов проработал 70 лет(!). В 1935 году создал в Тойбохойской школе первый в Якутии уголок живой природы, а в 1936 году — первый в республике школьный краеведческий музей.
На базе учебно-опытного участка Бессоновым в 1947 году впервые в Якутии было заложено начало декоративному садоводству. В 1957 году он основал первый в республике ботанический сад, в котором собран огромный исходный материал для селекции сельскохозяйственных культур. Площадь сада составляет 25 га.
С 2002 года Г. Е. Бессонов работал старшим научным сотрудником Тойбохойского историко-краеведческого музейного комплекса.
Жил и работал в селе Тойбохой в Сунтарском улусе Республики Саха (Якутия). Скончался 4 октября 2005 года.
С декабря 2005 года Тойбохойский историко-краеведческий комплекс носит имя Г. Е. Бессонова.
Его имя присвоено ювелирному алмазу, добытому в 2005 году.
С 2006 года в Якутии учреждена ежегодная Государственная премия Республики Саха (Якутия) им. Г. Е. Бессонова учителям биологии, экологии, педагогам дополнительного образования за достижения в области краеведения, юннатского движения, музейного дела и воспитания экологической культуры.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 1 июля1968 года за большие заслуги в деле обучения и коммунистического воспитания учащихся присвоить Бессонову Георгию Евдокимовичу присвоено звание Героя Социалистического Труда с вручением ордена Ленина и Золотой медали «Серп и Молот».
Награждён двумя орденами Ленина, орденом Трудового Красного Знамени, медалями.